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Algebra Lineare
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Applicazione Lineare
Definizione, nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione (nullità più rango), isomorfismi e rappresentazione matriciale.
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Applicazioni lineari, nucleo e immagine: esercizi svolti
Esercizi svolti sulle applicazioni lineari: matrice associata, nucleo e immagine, teorema delle dimensioni (rango-nullità), iniettività e suriettività, isomorfismi.
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Autovalore
Scalare per il quale viene moltiplicato un autovettore in una trasformazione lineare.
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Autovalori, autovettori e diagonalizzazione: esercizi svolti
Esercizi svolti su autovalori e autovettori: polinomio caratteristico, calcolo degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, criterio di diagonalizzabilità, matrice diagonalizzante.
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Autovettore
Vettore non nullo che mantiene la propria direzione a seguito di una trasformazione lineare.
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Base (Spazio Vettoriale)
Insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale.
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Binomio di Newton
Formula per lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio in termini di coefficienti binomiali.
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Cambio di Base
Matrice di passaggio tra basi di uno spazio vettoriale, trasformazione delle coordinate e delle matrici associate ad applicazioni lineari. Matrici simili.
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Convenzione di Einstein
Convenzione di sommatoria di Einstein: indici ripetuti implicano somma, notazione con indici alti e bassi, contrazione e prodotto interno in forma compatta.
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Decomposizione LU
Fattorizzazione di una matrice quadrata nel prodotto di una matrice triangolare inferiore (L) e una superiore (U).
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Decomposizione Polare
Decomposizione polare di una matrice invertibile: A = QS con Q ortogonale/unitaria e S simmetrica definita positiva. Analogia con la forma polare dei numeri complessi.
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Decomposizione SVD
Singular Value Decomposition (SVD): fattorizzazione A = UΣV^T, valori singolari, pseudoinversa di Moore-Penrose, approssimazione a basso rango e applicazioni.
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Determinante
Valore scalare associato a una matrice quadrata che ne sintetizza importanti proprietà geometriche e algebriche, come l’invertibilità.
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Dimensione (Spazio Vettoriale)
Numero di vettori che compongono una base di uno spazio vettoriale; invariante intrinseco dello spazio.
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Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per prodotti scalari: enunciato, dimostrazione, casi di uguaglianza e applicazioni in analisi, probabilità e ottimizzazione.
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Esponenziale di Matrice
Definizione e calcolo dell’esponenziale di matrice e^A. Metodi: serie, diagonalizzazione, forma di Jordan. Applicazione alla soluzione di sistemi di EDO lineari.
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Fattorizzazione di Cholesky
Fattorizzazione di Cholesky A = LL^T per matrici simmetriche definite positive: algoritmo, costo computazionale, stabilità numerica e applicazioni.
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Fattorizzazione QR
Fattorizzazione QR di una matrice rettangolare: metodi di Gram-Schmidt, riflessioni di Householder e rotazioni di Givens.
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Forma Bilineare
Applicazione matematica su due vettori che risulta lineare separatamente rispetto a ciascuno degli argomenti.
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Forma Canonica di Jordan
Forma canonica di Jordan di una matrice: blocchi di Jordan, catene di autovettori generalizzati, decomposizione primaria e calcolo dell’esponenziale di matrice.
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Forma Quadratica
Applicazione omogenea di grado 2 definita su uno spazio vettoriale; generata da una forma bilineare simmetrica.
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Formulario di Geometria e Algebra Lineare
Indice ragionato degli argomenti di Geometria e Algebra Lineare per tutti i corsi di ingegneria italiani.
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Grado di Libertà
Numero di variabili indipendenti necessarie per definire univocamente lo stato di un sistema fisico o matematico.
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Indipendenza Lineare
Proprietà di un insieme di vettori per cui nessuno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri.
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Isomorfismo
Isomorfismi tra spazi vettoriali: applicazioni lineari biiettive, endomorfismi, automorfismi e classificazione degli spazi per dimensione.
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Legge di Inerzia di Sylvester
Segnatura di una forma quadratica reale, legge di inerzia di Sylvester: invarianza della segnatura per congruenza, criterio di Sylvester per la definitezza positiva.
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Matrice
Tabella ordinata di numeri o simboli organizzata in righe e colonne, utilizzata per rappresentare trasformazioni lineari e sistemi di equazioni
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Matrici, determinanti e rango: esercizi svolti
Esercizi svolti su matrici: prodotto, determinante 2x2 e 3x3 con Sarrus e Laplace, proprietà, rango per riduzione, matrice inversa e condizione di invertibilità.
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Metodo del Gradiente Coniugato
Metodo del gradiente coniugato per sistemi lineari simmetrici definiti positivi: algoritmo, convergenza, spazi di Krylov, GMRES e precondizionamento.
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Metodo di Gauss
Algoritmo di eliminazione per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari tramite trasformazione in una matrice a gradini.
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Metodo di Gauss-Seidel
Metodo iterativo di Gauss-Seidel per sistemi lineari: aggiornamento sequenziale, convergenza, metodo SOR e applicazioni in ingegneria.
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Metodo di Jacobi (Iterativo)
Metodo iterativo di Jacobi per sistemi lineari: schema di iterazione, condizione di convergenza (raggio spettrale), confronto con Gauss-Seidel.
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Norma
Funzione che assegna una lunghezza o dimensione non negativa a ogni vettore in uno spazio vettoriale.
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Numero di Condizionamento
Numero di condizionamento di una matrice: definizione tramite norme matriciali, sensibilità dei sistemi lineari alle perturbazioni, matrici mal condizionate.
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Polinomio Caratteristico
Polinomio caratteristico di una matrice quadrata: definizione, calcolo degli autovalori, molteplicità algebrica e geometrica, spettro.
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Principio di funzionamento della crittografia RSA
Analisi della crittografia RSA: chiave pubblica e privata, aritmetica modulare, teorema di Eulero, generazione delle chiavi, cifratura, firma digitale e sicurezza basata sulla fattorizzazione.
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Procedimento di Gram-Schmidt
Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: costruzione di una base ortonormale a partire da una base qualsiasi di uno spazio con prodotto scalare.
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Prodotto Misto
Operazione tra tre vettori nello spazio tridimensionale che combina prodotto vettoriale e prodotto scalare.
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Prodotto Scalare
Operazione tra due vettori che restituisce uno scalare, legata all’angolo tra i vettori e alle proiezioni.
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Prodotto scalare e ortogonalizzazione: esercizi svolti
Esercizi svolti su prodotto scalare, norma e ortogonalità: angolo tra vettori, proiezione ortogonale, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, procedimento di Gram-Schmidt e basi ortonormali.
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Prodotto Vettoriale
Operazione tra due vettori in R3 che restituisce un terzo vettore perpendicolare ad entrambi.
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Proiezione Ortogonale
Operazione che scompone un vettore in una componente giacente su un sottospazio e una componente perpendicolare ad esso.
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Rango
Numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti di una matrice, indicatore della dimensionalità dell’immagine di una trasformazione lineare.
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Simbolo di Kronecker
Simbolo tensoriale che vale 1 se gli indici sono uguali, 0 altrimenti; equivale alla matrice identità.
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Simbolo di Levi-Civita
Tensore alternante totalmente antisimmetrico, fondamentale per esprimere il prodotto vettoriale e i determinanti.
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Sistema Lineare
Insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte contemporaneamente da un set di incognite.
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Sistemi di Equazioni e Disequazioni
Metodi di risoluzione di sistemi di equazioni e disequazioni algebriche.
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Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli: esercizi svolti
Esercizi svolti sui sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli, eliminazione di Gauss, regola di Cramer, sistemi compatibili e incompatibili, soluzioni infinite e discussione con parametro.
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Span
Insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di un gruppo di vettori; copertura lineare o sottospazio generato.
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Spazi vettoriali, basi e dimensione: esercizi svolti
Esercizi svolti su spazi vettoriali: dipendenza e indipendenza lineare, combinazioni lineari, basi, dimensione, sottospazi e verifica delle proprietà di sottospazio.
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Spazio Duale
Forme lineari e spazio duale di uno spazio vettoriale: base duale, applicazione duale (trasposta) e isomorfismo canonico con il biduale.
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Spazio Quoziente
Costruzione dello spazio quoziente V/W rispetto a un sottospazio, classi laterali, dimensione e teorema di isomorfismo fondamentale.
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Spazio Vettoriale
Struttura algebrica composta da un insieme di elementi (vettori) su cui sono definite le operazioni di somma e prodotto per scalare.
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Tensore
Definizione di tensore tramite legge di trasformazione: ordine, componenti covarianti e controvarianti, prodotto tensoriale e applicazioni in fisica e ingegneria.
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Tensori: Applicazioni in Ingegneria
Tensori fondamentali nell’ingegneria: tensore di inerzia, degli sforzi (Cauchy), delle deformazioni, di elasticità (Hooke).
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Teorema di Cayley-Hamilton
Ogni matrice quadrata soddisfa il proprio polinomio caratteristico. Polinomio minimo, applicazioni al calcolo di potenze e funzioni di matrici.
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Teorema di Gershgorin
Teorema di Gershgorin: localizzazione degli autovalori di una matrice nei cerchi di Gershgorin nel piano complesso. Corollari e applicazioni alla stabilità.
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Teorema Spettrale
Teorema spettrale per matrici simmetriche reali, hermitiane e operatori normali: diagonalizzabilità ortogonale, autovalori reali e basi di autovettori ortonormali.
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Trasformazione Lineare
Funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di addizione e moltiplicazione per scalare.
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Vettore
Ente matematico definito da un modulo, una direzione e un verso, utilizzato per rappresentare grandezze fisiche direzionali
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