Tensori: Applicazioni in Ingegneria

I tensori del secondo e quarto ordine compaiono in modo sistematico nelle equazioni della meccanica e dell’ingegneria. Qui sono raccolti i tensori più importanti, con le loro proprietà di simmetria, invarianti e relazioni fisiche.

Vedi anche: Tensore, Convenzione di Einstein, Teorema Spettrale.

Tensore di Inerzia $I_{ij}$

Il tensore di inerzia di un corpo rigido rispetto a un polo $O$ è il tensore simmetrico del secondo ordine:

$I_{ij} = \int_V \rho(\vec{r})\bigl(r^2 \delta_{ij} - r_i r_j\bigr)\, dV$

dove $r^2 = r_k r^k$ e $\delta_{ij}$ è il delta di Kronecker. Il momento d’inerzia attorno a un asse di direzione $\hat{n}$ è $I = I_{ij} n^i n^j$.

Diagonalizzazione: per il teorema spettrale (è simmetrico), esiste sempre una base di assi principali di inerzia in cui $I_{ij}$ è diagonale con gli momenti principali $I_1, I_2, I_3$. Vedi: Teorema Spettrale.

Tensore degli Sforzi di Cauchy $\sigma_{ij}$

Il tensore degli sforzi $\sigma_{ij}$ è il tensore simmetrico del secondo ordine tale che la forza per unità di area su una superficie con normale $\hat{n}$ è:

$t_i = \sigma_{ij} n^j$

Componenti: $\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}$ sono le tensioni normali; $\sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{23}$ sono le tensioni tangenziali (di taglio). La simmetria $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ segue dall’equilibrio dei momenti.

Invarianti (indipendenti dalla base):

$I_1 = \sigma_{ii} = \operatorname{tr}(\sigma), \quad I_2 = \frac{1}{2}(\sigma_{ii}\sigma_{jj} - \sigma_{ij}\sigma_{ij}), \quad I_3 = \det(\sigma)$

Tensioni principali: autovalori di $\sigma_{ij}$ (per il teorema spettrale). Le direzioni principali sono gli autovettori.

Tensore delle Deformazioni $\varepsilon_{ij}$

Il tensore delle deformazioni infinitesime è:

$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$

dove $\vec{u}$ è il campo di spostamento. È simmetrico. $\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33}$ sono le deformazioni di allungamento; $2\varepsilon_{12}, 2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23}$ le deformazioni angolari (shear).

Legge di Hooke Generalizzata: Tensore di Elasticità $C_{ijkl}$

La relazione costitutiva per un materiale elastico lineare è:

$\sigma_{ij} = C_{ijkl}\, \varepsilon_{kl}$

Il tensore di elasticità $C_{ijkl}$ è del quarto ordine (81 componenti in 3D). Per simmetria dei tensori di sforzo e deformazione e per simmetria energetica, le componenti indipendenti si riducono a 21 (materiale anisotropo), 9 (ortotropo), 5 (trasversalmente isotropo), 2 (isotropo: $\lambda$ e $\mu$, costanti di Lamé).

Per un materiale isotropo: $C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})$.

Decomposizione Sferica e Deviatorica

Ogni tensore simmetrico del secondo ordine si decompone in:

$\sigma_{ij} = \underbrace{\frac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}}_{\text{parte sferica}} + \underbrace{s_{ij}}_{\text{parte deviatorica}}$

La parte sferica (pressione idrostatica) è $p = \sigma_{kk}/3$; la parte deviatorica $s_{ij}$ ha traccia nulla e governa la plasticità e lo scorrimento. I criteri di plasticità (Von Mises, Tresca) usano gli invarianti del deviatore.

Invarianti Tensoriali

Per il secondo invariante del deviatore degli sforzi (usato nel criterio di Von Mises):

$J_2 = \frac{1}{2} s_{ij} s_{ij}$

Il criterio di snervamento di Von Mises è $\sqrt{3J_2} = \sigma_y$ (tensione di snervamento).

Applicazioni ingegneristiche

• Analisi FEM: ogni elemento della mesh porta un tensore degli sforzi e delle deformazioni; il post-processing calcola tensioni equivalenti di Von Mises e tensioni principali.
• Geomeccanica: il tensore degli sforzi in situ (litostatic + tettonico) determina la stabilità di gallerie e pozzi petroliferi.
• Biomeccanica: il tensore di rigidezza del tessuto osseo e cartilagineo è ortoropico; la simulazione FEM dell’osso usa le 9 costanti indipendenti dell’ortotropia.