I tensori del secondo e quarto ordine compaiono in modo sistematico nelle equazioni della meccanica e dell’ingegneria. Qui sono raccolti i tensori più importanti, con le loro proprietà di simmetria, invarianti e relazioni fisiche.
Vedi anche: Tensore, Convenzione di Einstein, Teorema Spettrale.
Tensore di Inerzia I_{ij}
Il tensore di inerzia di un corpo rigido rispetto a un polo O è il tensore simmetrico del secondo ordine:
I_{ij} = \int_V \rho(\vec{r})\bigl(r^2 \delta_{ij} - r_i r_j\bigr)\, dV
dove r^2 = r_k r^k e \delta_{ij} è il delta di Kronecker. Il momento d’inerzia attorno a un asse di direzione \hat{n} è I = I_{ij} n^i n^j.
Diagonalizzazione: per il teorema spettrale (è simmetrico), esiste sempre una base di assi principali di inerzia in cui I_{ij} è diagonale con gli momenti principali I_1, I_2, I_3. Vedi: Teorema Spettrale.
Tensore degli Sforzi di Cauchy \sigma_{ij}
Il tensore degli sforzi \sigma_{ij} è il tensore simmetrico del secondo ordine tale che la forza per unità di area su una superficie con normale \hat{n} è:
t_i = \sigma_{ij} n^j
Componenti: \sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33} sono le tensioni normali; \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{23} sono le tensioni tangenziali (di taglio). La simmetria \sigma_{ij} = \sigma_{ji} segue dall’equilibrio dei momenti.
Invarianti (indipendenti dalla base):
I_1 = \sigma_{ii} = \operatorname{tr}(\sigma), \quad I_2 = \frac{1}{2}(\sigma_{ii}\sigma_{jj} - \sigma_{ij}\sigma_{ij}), \quad I_3 = \det(\sigma)
Tensioni principali: autovalori di \sigma_{ij} (per il teorema spettrale). Le direzioni principali sono gli autovettori.
Tensore delle Deformazioni \varepsilon_{ij}
Il tensore delle deformazioni infinitesime è:
\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)
dove \vec{u} è il campo di spostamento. È simmetrico. \varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33} sono le deformazioni di allungamento; 2\varepsilon_{12}, 2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23} le deformazioni angolari (shear).
Legge di Hooke Generalizzata: Tensore di Elasticità C_{ijkl}
La relazione costitutiva per un materiale elastico lineare è:
\sigma_{ij} = C_{ijkl}\, \varepsilon_{kl}
Il tensore di elasticità C_{ijkl} è del quarto ordine (81 componenti in 3D). Per simmetria dei tensori di sforzo e deformazione e per simmetria energetica, le componenti indipendenti si riducono a 21 (materiale anisotropo), 9 (ortotropo), 5 (trasversalmente isotropo), 2 (isotropo: \lambda e \mu, costanti di Lamé).
Per un materiale isotropo: C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}).
Decomposizione Sferica e Deviatorica
Ogni tensore simmetrico del secondo ordine si decompone in:
\sigma_{ij} = \underbrace{\frac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}}_{\text{parte sferica}} + \underbrace{s_{ij}}_{\text{parte deviatorica}}
La parte sferica (pressione idrostatica) è p = \sigma_{kk}/3; la parte deviatorica s_{ij} ha traccia nulla e governa la plasticità e lo scorrimento. I criteri di plasticità (Von Mises, Tresca) usano gli invarianti del deviatore.
Invarianti Tensoriali
Per il secondo invariante del deviatore degli sforzi (usato nel criterio di Von Mises):
J_2 = \frac{1}{2} s_{ij} s_{ij}
Il criterio di snervamento di Von Mises è \sqrt{3J_2} = \sigma_y (tensione di snervamento).
Applicazioni ingegneristiche
- Analisi FEM: ogni elemento della mesh porta un tensore degli sforzi e delle deformazioni; il post-processing calcola tensioni equivalenti di Von Mises e tensioni principali.
- Geomeccanica: il tensore degli sforzi in situ (litostatic + tettonico) determina la stabilità di gallerie e pozzi petroliferi.
- Biomeccanica: il tensore di rigidezza del tessuto osseo e cartilagineo è ortoropico; la simulazione FEM dell’osso usa le 9 costanti indipendenti dell’ortotropia.