Teorema Spettrale — ingegnerismo.it

Il teorema spettrale afferma che le matrici simmetriche (nel caso reale) e hermitiane (nel caso complesso) sono sempre diagonalizzabili con una base ortonormale di autovettori. È il risultato centrale dell’analisi spettrale in dimensione finita.

Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Polinomio Caratteristico, Gram-Schmidt.

Matrici Simmetriche Reali

Teorema: sia $A \in M_n(\mathbb{R})$ una matrice simmetrica ( $A = A^T$ ). Allora:

Tutti gli autovalori di $A$ sono reali.
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.
Esiste una base ortonormale di $\mathbb{R}^n$ formata da autovettori di $A$ .
$A$ è diagonalizzabile tramite una matrice ortogonale $Q$ ( $Q^{-1} = Q^T$ ):

$A = Q \Lambda Q^T, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

Matrici Hermitiane

Teorema: sia $A \in M_n(\mathbb{C})$ hermitiana ( $A = A^*$ , cioè $A = \overline{A}^T$ ). Allora:

Tutti gli autovalori sono reali.
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali rispetto al prodotto hermitiano.
Esiste una base ortonormale di $\mathbb{C}^n$ formata da autovettori.
$A = U \Lambda U^*$ con $U$ unitaria ( $U^{-1} = U^*$ ).

Operatori Normali

Un operatore $A$ è normale se $AA^* = A^*A$ . Questa classe include:

matrici simmetriche/hermitiane: $A = A^*$
matrici antisimmetriche: $A = -A^T$
matrici ortogonali/unitarie: $A^{-1} = A^*$

Teorema: $A$ è normale se e solo se ammette una base ortonormale di autovettori (in $\mathbb{C}^n$ ).

Decomposizione Spettrale

Dalla diagonalizzazione ortogonale segue la decomposizione spettrale:

$A = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vec{q}_i \vec{q}_i^T \quad (\text{caso reale simmetrico})$

dove $\vec{q}_i$ sono le colonne di $Q$ (autovettori ortonormali). Ogni termine $\lambda_i \vec{q}_i \vec{q}_i^T$ è una proiezione ortogonale sul sottospazio generato da $\vec{q}_i$ .

Funzioni di Matrici Simmetriche

Per una funzione scalare $f$ e una matrice simmetrica $A = Q\Lambda Q^T$ :

$f(A) = Q \operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n)) Q^T$

Esempi: $A^{1/2}$ (radice quadrata, se $\lambda_i \geq 0$ ), $e^A$ , $\ln A$ (se $\lambda_i > 0$ ). Vedi: Esponenziale di Matrice.

Applicazioni ingegneristiche

Analisi modale: la matrice di rigidezza $K$ e la matrice di massa $M$ di una struttura sono simmetriche; la diagonalizzazione di $M^{-1/2}KM^{-1/2}$ dà le frequenze proprie e i modi.
Analisi delle componenti principali (PCA): la matrice di covarianza è simmetrica semidefinita positiva; il teorema spettrale garantisce la decomposizione in componenti ortogonali.
Elettromagnetismo: i tensori di permittività e permeabilità sono simmetrici; gli autovettori definiscono gli assi ottici del cristallo. Vedi: Tensore.
Meccanica dei continui: il tensore degli sforzi di Cauchy è simmetrico; il teorema spettrale fornisce le tensioni principali e le direzioni principali.