Esponenziale di Matrice

L’esponenziale di matrice $e^A$ è la generalizzazione matriciale dell’esponenziale scalare. È lo strumento fondamentale per risolvere sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti.

Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Forma Canonica di Jordan, Teorema di Cayley-Hamilton.

Definizione

Per $A \in M_n(\mathbb{C})$:

$e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots$

La serie converge (in norma matriciale) per ogni $A$. Vedi: Norma.

Proprietà

• $e^0 = I$
• $(e^A)^{-1} = e^{-A}$
• Se $AB = BA$: $e^{A+B} = e^A e^B$ (attenzione: vale solo se $A$ e $B$ commutano)
• $\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}A}$
• $\frac{d}{dt}e^{At} = A e^{At} = e^{At} A$

Metodi di Calcolo

Via diagonalizzazione

Se $A = PDP^{-1}$ con $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$:

$e^A = P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} P^{-1}$

Via forma di Jordan

Per un blocco di Jordan $J_k(\lambda)$:

$e^{J_k(\lambda)} = e^{\lambda} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \frac{1}{2!} & \cdots & \frac{1}{(k-1)!} \\ & 1 & 1 & \cdots & \frac{1}{(k-2)!} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 \end{pmatrix}$

Via Cayley-Hamilton

Per $n$ piccolo, $e^{At}$ si esprime come $\alpha_0(t)I + \alpha_1(t)A + \cdots + \alpha_{n-1}(t)A^{n-1}$ dove i coefficienti $\alpha_i(t)$ si determinano imponendo che la formula sia corretta sugli autovalori (con le derivate nei casi di autovalori multipli).

Soluzione di Sistemi EDO Lineari

Il sistema $\dot{x}(t) = Ax(t)$ con condizione iniziale $x(0) = x_0$ ha soluzione:

$x(t) = e^{At} x_0$

Con forzante: $\dot{x}(t) = Ax(t) + b(t)$, la soluzione è data dalla formula della variazione delle costanti:

$x(t) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-s)} b(s)\,ds$

Applicazioni ingegneristiche

• Controllo automatico: la matrice di transizione di stato $\Phi(t) = e^{At}$ descrive l’evoluzione libera di un sistema LTI; stabilità $\Leftrightarrow$ tutti gli autovalori di $A$ hanno parte reale negativa.
• Meccanica strutturale: la risposta nel tempo di un sistema smorzato a più gradi di libertà si calcola con $e^{At}$ dopo la riduzione modale.
• Robotica: le rotazioni finite nello spazio si rappresentano con $e^{[\omega]\theta}$ dove $[\omega]$ è la matrice antisimmetrica del vettore asse (formula di Rodrigues).
• Circuiti elettrici: la risposta transitoria di reti RC/RL/RLC si ricava da $e^{At}$ dove $A$ è la matrice nodale del circuito.