L’esponenziale di matrice e^A è la generalizzazione matriciale dell’esponenziale scalare. È lo strumento fondamentale per risolvere sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti.
Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Forma Canonica di Jordan, Teorema di Cayley-Hamilton.
Definizione
Per A \in M_n(\mathbb{C}):
e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots
La serie converge (in norma matriciale) per ogni A. Vedi: Norma.
Proprietà
- e^0 = I
- (e^A)^{-1} = e^{-A}
- Se AB = BA: e^{A+B} = e^A e^B (attenzione: vale solo se A e B commutano)
- \det(e^A) = e^{\operatorname{tr}A}
- \frac{d}{dt}e^{At} = A e^{At} = e^{At} A
Metodi di Calcolo
Via diagonalizzazione
Se A = PDP^{-1} con D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n):
e^A = P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} P^{-1}
Via forma di Jordan
Per un blocco di Jordan J_k(\lambda):
e^{J_k(\lambda)} = e^{\lambda} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \frac{1}{2!} & \cdots & \frac{1}{(k-1)!} \\ & 1 & 1 & \cdots & \frac{1}{(k-2)!} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 \end{pmatrix}
Via Cayley-Hamilton
Per n piccolo, e^{At} si esprime come \alpha_0(t)I + \alpha_1(t)A + \cdots + \alpha_{n-1}(t)A^{n-1} dove i coefficienti \alpha_i(t) si determinano imponendo che la formula sia corretta sugli autovalori (con le derivate nei casi di autovalori multipli).
Soluzione di Sistemi EDO Lineari
Il sistema \dot{x}(t) = Ax(t) con condizione iniziale x(0) = x_0 ha soluzione:
x(t) = e^{At} x_0
Con forzante: \dot{x}(t) = Ax(t) + b(t), la soluzione è data dalla formula della variazione delle costanti:
x(t) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-s)} b(s)\,ds
Applicazioni ingegneristiche
- Controllo automatico: la matrice di transizione di stato \Phi(t) = e^{At} descrive l’evoluzione libera di un sistema LTI; stabilità \Leftrightarrow tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa.
- Meccanica strutturale: la risposta nel tempo di un sistema smorzato a più gradi di libertà si calcola con e^{At} dopo la riduzione modale.
- Robotica: le rotazioni finite nello spazio si rappresentano con e^{[\omega]\theta} dove [\omega] è la matrice antisimmetrica del vettore asse (formula di Rodrigues).
- Circuiti elettrici: la risposta transitoria di reti RC/RL/RLC si ricava da e^{At} dove A è la matrice nodale del circuito.