La norma è una generalizzazione del concetto di valore assoluto applicato ai vettori. Essa permette di definire il concetto di “vicinanza” e convergenza in spazi astratti.
Tipi di Norme Comuni
- Norma Euclidea (L^2): ||\vec{x}||_2 = \sqrt{\sum x_i^2}. Corrisponde alla lunghezza geometrica del vettore.
- Norma Manhattan (L^1): ||\vec{x}||_1 = \sum |x_i|. Usata in statistica e machine learning (Lasso regression).
- Norma Infinito (L^\infty): ||\vec{x}||_\infty = \max |x_i|. Rappresenta la componente massima in valore assoluto.
Significato Ingegneristico
- Analisi dell’Errore: La norma del vettore residuo ||Ax - b|| viene usata per monitorare la convergenza di algoritmi numerici iterativi.
- Ingegneria dei Controlli: La stabilità dei sistemi è spesso analizzata tramite norme (es. norma H_\infty), che rappresentano il massimo guadagno del sistema su tutte le frequenze.
- Machine Learning: La regolarizzazione (L1 o L2) consiste nell’aggiungere la norma dei pesi alla funzione di costo per evitare l’overfitting.
- Calcolo Strutturale: La norma della matrice di rigidezza definisce il suo condizionamento, influenzando la sensibilità dei risultati agli errori di arrotondamento e di misura.