Lo span (noto anche come copertura lineare o sottospazio generato) di un insieme di vettori S = \{\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k\} in uno spazio vettoriale V su un campo K è l’insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari:
\operatorname{span}(S) = \left\{ \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{v}_i \;\middle|\; \alpha_i \in K \right\}
Geometricamente, lo span rappresenta lo spazio “spazzato” o coperto dai vettori:
- Lo span di un vettore non nullo nello spazio 3D è una retta passante per l’origine.
- Lo span di due vettori tridimensionali linearmente indipendenti è un piano passante per l’origine.
L’insieme \operatorname{span}(S) è sempre un sottospazio vettoriale di V. Se \operatorname{span}(S) coincide con l’intero spazio V, si dice che l’insieme S è un sistema di generatori per V. Un sistema di generatori in cui i vettori sono anche linearmente indipendenti costituisce una base per lo spazio.
Applicazioni ingegneristiche
- Machine Learning e Statistica: Il rango di una matrice dati coincide con la dimensione dello span formato dai vettori delle sue colonne (o righe). Uno span di dimensione inferiore al numero di variabili indica una dipendenza tra i dati, principio alla base dell’Analisi delle Componenti Principali (PCA).
- Controllo e Automazione: Nei sistemi dinamici lineari, il concetto di raggiungibilità è legato allo span generato dalla matrice di raggiungibilità del sistema.
Vedi anche: Indipendenza Lineare, Base (Spazio Vettoriale).