Applicazione Lineare

Voci di Glossario Algebra Lineare
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    Un’applicazione lineare (o trasformazione lineare) tra due spazi vettoriali VV e WW sullo stesso campo KK è una funzione f:V→Wf: V \to W che preserva le operazioni vettoriali:

    f(αu⃗+βv⃗)=αf(u⃗)+βf(v⃗)∀ u⃗,v⃗∈V,  α,β∈Kf(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha f(\vec{u}) + \beta f(\vec{v}) \quad \forall\, \vec{u}, \vec{v} \in V,\; \alpha, \beta \in K

    Vedi anche: Trasformazione Lineare, Matrice.

    Nucleo e Immagine

    Il nucleo (kernel) di ff è il sottoinsieme di VV che ff manda nel vettore nullo:

    ker⁡(f)={v⃗∈V∣f(v⃗)=0⃗}\ker(f) = \{ \vec{v} \in V \mid f(\vec{v}) = \vec{0} \}

    L’immagine di ff è il sottoinsieme di WW raggiunto da ff:

    Im⁡(f)={f(v⃗)∣v⃗∈V}\operatorname{Im}(f) = \{ f(\vec{v}) \mid \vec{v} \in V \}

    Entrambi sono sottospazi vettoriali (rispettivamente di VV e di WW).

    Teorema della Dimensione

    dim⁡(ker⁡f)+dim⁡(Im⁡f)=dim⁡V\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = \dim V

    La quantità dim⁡(ker⁡f)\dim(\ker f) si chiama nullità di ff; dim⁡(Im⁡f)\dim(\operatorname{Im} f) si chiama rango di ff. Vedi: Rango.

    Iniettività, Suriettività, Isomorfismo

    ProprietàCondizione equivalente
    ff iniettivaker⁡(f)={0⃗}\ker(f) = \{\vec{0}\}
    ff suriettivaIm⁡(f)=W\operatorname{Im}(f) = W
    ff isomorfismoiniettiva e suriettiva

    Due spazi vettoriali sono isomorfi se esiste un isomorfismo tra loro; su un campo fissato, due spazi finito-dimensionali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Vedi: Isomorfismo.

    Un’applicazione lineare f:V→Vf: V \to V (stesso spazio) si dice endomorfismo; se è anche un isomorfismo si dice automorfismo.

    Matrice Associata

    Fissate basi B\mathcal{B} di VV e C\mathcal{C} di WW, ogni applicazione lineare f:V→Wf: V \to W è rappresentata da una matrice [f]BC∈Mm×n(K)[f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \in M_{m \times n}(K) le cui colonne sono le coordinate di f(b⃗i)f(\vec{b}_i) nella base C\mathcal{C}.

    [f(v⃗)]C=[f]BC⋅[v⃗]B[f(\vec{v})]_{\mathcal{C}} = [f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \cdot [\vec{v}]_{\mathcal{B}}

    Il cambio di basi trasforma la matrice per similitudine (endomorfismi) o per congruenza rettangolare. Vedi: Cambio di Base.

    Composizione

    La composizione di applicazioni lineari corrisponde al prodotto delle matrici associate:

    [g∘f]BE=[g]CE⋅[f]BC[g \circ f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} = [g]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{E}} \cdot [f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}

    Applicazioni ingegneristiche

    • Meccanica strutturale: la matrice di rigidezza globale di un sistema FEM è la matrice di un’applicazione lineare tra lo spazio degli spostamenti nodali e quello delle forze.
    • Elaborazione dei segnali: filtri lineari tempo-invarianti sono endomorfismi dello spazio dei segnali; la trasformata di Fourier è un isomorfismo. Vedi: Trasformata di Fourier.
    • Grafica 3D: le trasformazioni di modellazione (rotazione, scala, riflessione) sono applicazioni lineari rappresentate da matrici 4×44 \times 4 in coordinate omogenee.

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