Autovettore

Voci di Glossario Algebra Lineare
Indice dei contenuti

    Dato un operatore lineare rappresentato da una matrice quadrata AA, un autovettore è un vettore non nullo v⃗\vec{v} la cui direzione non viene alterata dall’applicazione dell’operatore. Il vettore risultante è un semplice multiplo scalare del vettore originario: Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v} Il fattore di scala λ\lambda è detto autovalore associato a quel particolare autovettore.

    In termini geometrici, gli autovettori di una matrice definiscono le direzioni invarianti della trasformazione lineare che essa rappresenta.

    Calcolo

    Una volta determinati gli autovalori λ\lambda dall’equazione caratteristica, gli autovettori associati si calcolano determinando lo spazio nullo (nucleo) della matrice (A−λI)(A - \lambda I), risolvendo cioè il sistema lineare omogeneo: (A−λI)v⃗=0⃗(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}

    Molteplicità e autospazi

    L’autospazio associato a λ\lambda è il nucleo di (A−λI)(A - \lambda I):

    Vλ=ker⁡(A−λI)={v⃗∈Rn:Av⃗=λv⃗}V_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{\vec{v} \in \mathbb{R}^n : A\vec{v} = \lambda\vec{v}\}

    La dimensione dim⁡Vλ=mg(λ)\dim V_\lambda = m_g(\lambda) è la molteplicità geometrica dell’autovalore. Se mg(λ)<ma(λ)m_g(\lambda) < m_a(\lambda) (molteplicità algebrica), la matrice è non diagonalizzabile e occorrono vettori generalizzati per completare la base: questo si incontra nelle equazioni differenziali con radici multiple del polinomio caratteristico, dove la soluzione include termini del tipo teλtt e^{\lambda t}.

    Autovettori generalizzati: v⃗(k)\vec{v}^{(k)} tale che (A−λI)kv⃗(k)=0⃗(A - \lambda I)^k \vec{v}^{(k)} = \vec{0} ma (A−λI)k−1v⃗(k)≠0⃗(A - \lambda I)^{k-1} \vec{v}^{(k)} \neq \vec{0}. Compaiono nell’analisi modale di sistemi smorzati con smorzamento non proporzionale.

    Significato Ingegneristico

    • Analisi Modale: In ingegneria civile e meccanica, gli autovettori di un sistema strutturale rappresentano le forme modali (modi propri), indicando le ampiezze relative di vibrazione nei diversi gradi di libertà alla corrispondente frequenza naturale.
    • Data Science e Machine Learning: L’Analisi delle Componenti Principali (PCA) utilizza gli autovettori della matrice di covarianza come nuova base per proiettare i dati lungo le direzioni di massima varianza, operando una riduzione della dimensionalità.
    • Scienza dei Materiali: Le direzioni principali delle deformazioni e degli sforzi nei materiali continui sono definite dagli autovettori dei rispettivi tensori.

    Vedi anche: Autovalore, Polinomio Caratteristico, Analisi delle Componenti Principali.

    Ultimo aggiornamento: