Un sistema lineare è un insieme di m equazioni lineari in n incognite. In forma matriciale si scrive come AX = B, dove A è la matrice dei coefficienti, X il vettore delle incognite e B il vettore dei termini noti.
Risolvibilità
- Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa.
- Sistemi Quadrati: Se \det(A) \neq 0, il sistema ammette un’unica soluzione calcolabile tramite la regola di Cramer o l’inversione della matrice (X = A^{-1}B).
Significato Ingegneristico
- Analisi delle Reti: Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) applicate a circuiti elettrici lineari portano direttamente alla risoluzione di sistemi lineari per trovare correnti e tensioni incognite.
- Ingegneria Strutturale: Il metodo degli spostamenti per il calcolo di strutture iperstatiche (telai, capriate) richiede la risoluzione di sistemi lineari con migliaia di incognite.
- Produzione e Logistica: I modelli di programmazione lineare sono utilizzati per ottimizzare la distribuzione delle risorse e minimizzare i costi di trasporto.
- Metodi Numerici: La risoluzione di equazioni differenziali tramite differenze finite o elementi finiti (FEM) si riduce, nell’ultimo passaggio, alla soluzione di un gigantesco sistema lineare.