Norma

La norma è una generalizzazione del concetto di valore assoluto applicato ai vettori. Essa permette di definire il concetto di “vicinanza” e convergenza in spazi astratti.

Tipi di Norme Comuni

1. Norma Euclidea ($L^2$): $||\vec{x}||_2 = \sqrt{\sum x_i^2}$. Corrisponde alla lunghezza geometrica del vettore.
2. Norma Manhattan ($L^1$): $||\vec{x}||_1 = \sum |x_i|$. Usata in statistica e machine learning (Lasso regression).
3. Norma Infinito ($L^\infty$): $||\vec{x}||_\infty = \max |x_i|$. Rappresenta la componente massima in valore assoluto.

Significato Ingegneristico

• Analisi dell’Errore: La norma del vettore residuo $||Ax - b||$ viene usata per monitorare la convergenza di algoritmi numerici iterativi.
• Ingegneria dei Controlli: La stabilità dei sistemi è spesso analizzata tramite norme (es. norma $H_\infty$), che rappresentano il massimo guadagno del sistema su tutte le frequenze.
• Machine Learning: La regolarizzazione (L1 o L2) consiste nell’aggiungere la norma dei pesi alla funzione di costo per evitare l’overfitting.
• Calcolo Strutturale: La norma della matrice di rigidezza definisce il suo condizionamento, influenzando la sensibilità dei risultati agli errori di arrotondamento e di misura.