Numero di Condizionamento

Il numero di condizionamento di una matrice misura quanto la soluzione di un sistema lineare è sensibile alle perturbazioni dei dati: un numero di condizionamento elevato indica che piccoli errori nei dati (o negli arrotondamenti) possono produrre grandi errori nella soluzione.

Vedi anche: Virgola Mobile, Norma, Decomposizione SVD.

Norme Vettoriali e Matriciali

Una norma matriciale indotta dalla norma vettoriale $\|\cdot\|$ è:

$\|A\| = \sup_{\vec{x} \neq 0} \frac{\|A\vec{x}\|}{\|\vec{x}\|}$

Norme matriciali comuni:

Norma	Definizione	Calcolo
$\|A\|_1$	massima somma di colonna	$\max_j \sum_i
$\|A\|_\infty$	massima somma di riga	$\max_i \sum_j
$\|A\|_2$ (spettrale)	massimo valore singolare	$\sigma_{\max}(A)$
$\|A\|_F$ (Frobenius)	radice somma quadrati	$\sqrt{\sum_{ij} a_{ij}^2}$

Definizione del Numero di Condizionamento

Per una matrice invertibile $A$:

$\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|$

Con la norma spettrale: $\kappa_2(A) = \sigma_{\max}(A) / \sigma_{\min}(A)$ (rapporto tra il massimo e il minimo valore singolare). Vedi: Decomposizione SVD.

Per una matrice ortogonale: $\kappa_2(Q) = 1$ (perfettamente condizionata). Per una matrice singolare: $\kappa = \infty$.

Sensibilità dei Sistemi Lineari

Dato il sistema $A\vec{x} = \vec{b}$, se i dati sono perturbati di $\delta A$ e $\delta \vec{b}$, l’errore relativo sulla soluzione soddisfa:

$\frac{\|\delta\vec{x}\|}{\|\vec{x}\|} \leq \kappa(A) \left(\frac{\|\delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\delta\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|}\right)$

Un sistema con $\kappa(A) = 10^k$ può perdere fino a $k$ cifre decimali significative per effetto degli errori di arrotondamento.

Interpretazione Geometrica

$\kappa_2(A)$ è il rapporto tra il semiasse maggiore e il semiasse minore dell’ellissoide immagine della sfera unitaria. Una matrice mal condizionata «schiaccia» lo spazio in alcune direzioni più di altre.

Miglioramento del Condizionamento: Precondizionamento

Per sistemi mal condizionati si usa un precondizionatore $P \approx A^{-1}$ per risolvere $P^{-1}A\vec{x} = P^{-1}\vec{b}$, che ha numero di condizionamento $\kappa(P^{-1}A) \ll \kappa(A)$. Vedi: Gradiente Coniugato.

Applicazioni ingegneristiche

• FEM: le matrici di rigidezza di strutture con elementi molto diversi per dimensione o rigidezza hanno $\kappa \gg 1$; il precondizionamento è essenziale per la convergenza dei solvitori iterativi.
• Regolarizzazione: nei problemi inversi (tomografia, ricostruzione di immagini) le matrici di osservazione sono mal condizionate; la regolarizzazione di Tikhonov aggiunge $\lambda I$ per limitare $\kappa$.
• Reti neurali: il condizionamento della matrice hessiana della funzione di perdita influenza la velocità di convergenza della discesa del gradiente; metodi del secondo ordine (Adam, L-BFGS) stimano e compensano il mal condizionamento.