Autovalori, autovettori e diagonalizzazione: esercizi svolti

Un autovettore di una matrice $A$ è un vettore che, trasformato, resta sulla propria direzione, scalato da un autovalore $\lambda$ : $Av=\lambda v$ . Trovare autovalori e autovettori permette di diagonalizzare la matrice, semplificando potenze, esponenziali e sistemi dinamici. Questa scheda allena l’intero procedimento.

Equazione caratteristica: $\;\det(A-\lambda I)=0$ .

1. Polinomio caratteristico

Esercizio. Trovare il polinomio caratteristico di $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

$\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3.$

Il polinomio caratteristico è di grado pari all’ordine della matrice. Le sue radici sono gli autovalori.

2. Autovalori

Esercizio. Trovare gli autovalori di $A$ (punto 1).

$\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3)=0\ \Rightarrow\ \lambda_1=1,\ \lambda_2=3.$

Due autovalori reali distinti. Nota: la loro somma ( $1+3=4$ ) è la traccia di $A$ , il loro prodotto ( $3$ ) è il determinante: controllo rapido.

3. Autovettori

Esercizio. Trovare gli autovettori associati a $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=3$ (punto 2).

Per $\lambda_1=1$ : risolvo $(A-I)v=0$ , cioè $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}v=0\Rightarrow x+y=0$ . Autovettore $(1,-1)$ .

Per $\lambda_2=3$ : risolvo $(A-3I)v=0$ , cioè $\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}v=0\Rightarrow x=y$ . Autovettore $(1,1)$ .

$E_1=\langle(1,-1)\rangle,\qquad E_3=\langle(1,1)\rangle.$

Gli autovettori di autovalori distinti sono sempre indipendenti.

4. Molteplicità algebrica e geometrica

Esercizio. Per $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$ , confrontare le molteplicità dell’autovalore.

Algebrica: $\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)^2=0\Rightarrow\lambda=3$ con molteplicità algebrica $2$ .

Geometrica: $(A-3I)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ha rango $1$ , quindi $\dim E_3=2-1=1$ .

$m_a=2,\qquad m_g=1.$

La molteplicità geometrica ( $1$ ) è minore dell’algebrica ( $2$ ): un solo autovettore indipendente. È il segnale che la matrice non è diagonalizzabile.

5. Criterio di diagonalizzabilità

Esercizio. Stabilire se le matrici dei punti 2 e 4 sono diagonalizzabili.

Una matrice $n\times n$ è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità geometriche è $n$ (equivalente: $m_g=m_a$ per ogni autovalore).

Punto 2 ( $\lambda=1,3$ distinti): due autovalori distinti, ciascuno $m_g=1$ → totale $2=n$ → diagonalizzabile.
Punto 4 ( $\lambda=3$ , $m_g=1<m_a=2$ ) → non diagonalizzabile.

Autovalori tutti distinti ⇒ sempre diagonalizzabile. Autovalori ripetuti vanno verificati.

6. Matrice diagonalizzante

Esercizio. Diagonalizzare $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ (punti 2-3).

Si costruisce $P$ con gli autovettori in colonna e $D$ diagonale con gli autovalori corrispondenti:

$P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix},\qquad A=PDP^{-1}.$

L’ordine deve essere coerente: la colonna $(1,-1)$ (autovalore 1) corrisponde al primo elemento di $D$ . La diagonalizzazione rende banale il calcolo di $A^n=PD^nP^{-1}$ .

7. Potenza tramite diagonalizzazione

Esercizio. Usare la diagonalizzazione per calcolare l’effetto di $A^n$ sugli autospazi.

Con $A=PDP^{-1}$ :

$A^n=PD^nP^{-1},\qquad D^n=\begin{pmatrix}1^n&0\\0&3^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}.$

L’autospazio di $\lambda=1$ resta invariato (autovalore $1^n=1$ ); quello di $\lambda=3$ si dilata di $3^n$ . Per $n$ grande la dinamica è dominata dall’autovalore di modulo maggiore: è il principio dietro i metodi delle potenze e la stabilità dei sistemi.

8. Autovalore ripetuto ma matrice diagonalizzabile

Esercizio. Stabilire se

B=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&5 \end{pmatrix}

è diagonalizzabile.

Gli autovalori sono leggibili dalla diagonale, perché $B$ è triangolare:

\lambda=2\quad(m_a=2),\qquad \lambda=5\quad(m_a=1).

Per $\lambda=2$ :

B-2I=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad z=0,

quindi

E_2=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb R\}=\langle(1,0,0),(0,1,0)\rangle,

con $\dim E_2=2=m_a(2)$ . Per $\lambda=5$ si ottiene $E_5=\langle(0,0,1)\rangle$ , dunque $\dim E_5=1=m_a(5)$ .

La somma delle dimensioni degli autospazi è $2+1=3$ : la matrice è diagonalizzabile. Un autovalore ripetuto non impedisce la diagonalizzazione; la impedisce solo una carenza di autovettori indipendenti.

9. Matrice simmetrica e diagonalizzazione ortogonale

Esercizio. Diagonalizzare ortogonalmente

C=\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}.

Il polinomio caratteristico è

\det(C-\lambda I)=(4-\lambda)^2-1=(\lambda-3)(\lambda-5),

quindi gli autovalori sono $3$ e $5$ . Gli autovettori associati sono:

\lambda=3:\ (1,-1),\qquad \lambda=5:\ (1,1).

Sono ortogonali, perché

(1,-1)\cdot(1,1)=1-1=0.

Normalizzandoli:

q_1=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,-1),\qquad q_2=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1),

si costruisce

Q=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix},

e vale

C=QDQ^T.

Per matrici reali simmetriche gli autospazi relativi ad autovalori distinti sono ortogonali: è il caso più stabile numericamente nelle applicazioni.

10. Autovalori complessi di una matrice reale

Esercizio. Studiare gli autovalori di

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

Il polinomio caratteristico è

\det(R-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda&-1\\1&-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2+1.

Quindi

\lambda^2+1=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm i.

Su $\mathbb R$ la matrice non ha autovalori reali e non ammette autovettori reali. Su $\mathbb C$ , invece, è diagonalizzabile perché ha due autovalori distinti. Per $\lambda=i$ :

\begin{pmatrix}-i&-1\\1&-i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad y=-ix,

per esempio $v=(1,-i)$ . Per $\lambda=-i$ si ottiene $v=(1,i)$ .

Operativamente, $R$ rappresenta una rotazione di $90^\circ$ : non conserva alcuna direzione reale, ma diventa diagonalizzabile se si ammettono direzioni complesse.

Errori comuni

Cercare autovettori dimenticando $v\ne0$ . Il vettore nullo soddisfa $Av=\lambda v$ per ogni $\lambda$ ma non è un autovettore: si cercano soluzioni non nulle.
Confondere molteplicità algebrica e geometrica. L’algebrica è la molteplicità come radice; la geometrica è $\dim$ dell’autospazio. Vale sempre $m_g\le m_a$ .
Diagonalizzare matrici con $m_g<m_a$ . Se per qualche autovalore $m_g<m_a$ , la matrice non è diagonalizzabile (serve la forma di Jordan).
Sbagliare l’ordine in $P$ e $D$ . Le colonne di $P$ e gli elementi di $D$ devono corrispondere allo stesso autovalore, nello stesso ordine.
Dire “autovalore ripetuto quindi non diagonalizzabile”. È falso: conta la molteplicità geometrica. La matrice diagonale del punto 8 ha un autovalore ripetuto ed è diagonalizzabile.
Non specificare il campo. Una matrice può non essere diagonalizzabile su $\mathbb R$ ma esserlo su $\mathbb C$ , come la rotazione del punto 10.