In uno spazio vettoriale, un insieme di vettori \vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k si dice linearmente indipendente se l’unica loro combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti (scalari) nulli: \alpha_1 \vec{v}_1 + \cdots + \alpha_k \vec{v}_k = \vec{0} \implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 0
Se invece esistono degli scalari non tutti nulli che soddisfano l’equazione, i vettori sono linearmente dipendenti, il che implica che almeno uno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri.
Criteri Pratici
- Un singolo vettore non nullo è sempre indipendente.
- Un insieme che contiene il vettore nullo è sempre dipendente.
- Due vettori sono dipendenti se e solo se sono proporzionali (uno è multiplo scalare dell’altro).
- In \mathbb{R}^n, un insieme di k > n vettori è sempre linearmente dipendente.
- Criterio Matriciale: i vettori in \mathbb{R}^n sono indipendenti se e solo se la matrice le cui colonne sono i vettori considerati ha rango massimo pari al numero di vettori.
Significato Ingegneristico
- Elaborazione dei Segnali: La dipendenza lineare tra segnali raccolti da sensori diversi indica una ridondanza dell’informazione. L’indipendenza lineare assicura che ciascun sensore fornisca informazioni uniche e non deducibili dagli altri.
Vedi anche: Span, Base (Spazio Vettoriale).