Indipendenza Lineare

Voci di Glossario Algebra Lineare
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    In uno spazio vettoriale, un insieme di vettori v⃗1,…,v⃗k\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k si dice linearmente indipendente se l’unica loro combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti (scalari) nulli: α1v⃗1+⋯+αkv⃗k=0⃗  ⟹  α1=⋯=αk=0\alpha_1 \vec{v}_1 + \cdots + \alpha_k \vec{v}_k = \vec{0} \implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 0

    Se invece esistono degli scalari non tutti nulli che soddisfano l’equazione, i vettori sono linearmente dipendenti, il che implica che almeno uno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri.

    Criteri Pratici

    • Un singolo vettore non nullo è sempre indipendente.
    • Un insieme che contiene il vettore nullo è sempre dipendente.
    • Due vettori sono dipendenti se e solo se sono proporzionali (uno è multiplo scalare dell’altro).
    • In Rn\mathbb{R}^n, un insieme di k>nk > n vettori è sempre linearmente dipendente.
    • Criterio Matriciale: i vettori in Rn\mathbb{R}^n sono indipendenti se e solo se la matrice le cui colonne sono i vettori considerati ha rango massimo pari al numero di vettori.

    Significato Ingegneristico

    • Elaborazione dei Segnali: La dipendenza lineare tra segnali raccolti da sensori diversi indica una ridondanza dell’informazione. L’indipendenza lineare assicura che ciascun sensore fornisca informazioni uniche e non deducibili dagli altri.

    Vedi anche: Span, Base (Spazio Vettoriale).

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