La proiezione ortogonale di un vettore \vec{v} su un sottospazio U è il vettore \vec{p} \in U che minimizza la distanza da \vec{v}.
Calcolo
Su una retta generata dal versore \hat{u}, la proiezione è: \vec{p} = (\vec{v} \cdot \hat{u}) \hat{u} In generale, per un sottospazio con base ortonormale \{\hat{u}_1, \dots, \hat{u}_k\}, la proiezione è la somma delle proiezioni sui singoli versori della base.
Significato Ingegneristico
- Minimi Quadrati: La soluzione di un sistema sovradeterminato Ax = b è la proiezione ortogonale del vettore dei termini noti b sullo spazio delle colonne della matrice A. È la base di ogni processo di fitting di dati sperimentali.
- Scomposizione delle Forze: In meccanica, proiettare una forza lungo gli assi locali di una trave (normale e trasversale) è essenziale per calcolare gli sforzi interni (N, T, M).
- Elaborazione Segnali: La proiezione di un segnale su basi ortogonali (es. seni e coseni in Fourier o wavelet) permette di estrarre frequenze specifiche o comprimere i dati eliminando le componenti meno significative.
- Robotica: Utilizzata per proiettare i movimenti desiderati del robot sui vincoli fisici dell’ambiente (es. camminare su un piano inclinato).