Il prodotto scalare (o prodotto interno) è un’operazione che associa a due vettori \mathbf{u} e \mathbf{v} un numero reale. È uno strumento fondamentale per misurare lunghezze e angoli in uno spazio vettoriale.
Definizione Geometrica
In \mathbb{R}^3, il prodotto scalare è definito come: \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta dove \theta è l’angolo compreso tra i due vettori.
Definizione Algebrica
Date le componenti dei vettori \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) e \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3): \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3
Proprietà Fondamentali
- Commutatività: \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}.
- Linearità: \mathbf{u} \cdot (a\mathbf{v} + b\mathbf{w}) = a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + b(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}).
- Criterio di Ortogonalità: Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo: \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \iff \mathbf{u} \perp \mathbf{v}.
Significato Ingegneristico
- Lavoro di una forza: Il lavoro L compiuto da una forza costante \mathbf{F} per uno spostamento \mathbf{s} è il prodotto scalare L = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}.
- Proiezioni: La proiezione ortogonale di un vettore \mathbf{u} lungo la direzione di un versore \mathbf{n} è data da (\mathbf{u} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}.
- Energia: In molti contesti fisici, l’energia o la potenza sono espresse come prodotti scalari tra variabili di sforzo e variabili di flusso.