Prodotto Vettoriale

Il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) è un’operazione definita nello spazio tridimensionale $\mathbb{R}^3$ che associa a due vettori $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ un terzo vettore $\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$.

Caratteristiche del Vettore Risultante

Il vettore $\mathbf{w}$ ha le seguenti proprietà:

1. Direzione: È perpendicolare al piano formato da $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$.
2. Verso: Determinato dalla regola della mano destra.
3. Modulo: Pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori: $\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin \theta$

Calcolo tramite Determinante

Date le componenti $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ e $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$, il prodotto vettoriale può essere calcolato come: $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$

Proprietà Fondamentali

• Anticommutatività: $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})$.
• Parallelismo: $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$ (per vettori non nulli).

Significato Ingegneristico

• Momento di una forza: Il momento $\mathbf{M}$ di una forza $\mathbf{F}$ rispetto a un punto $O$ è $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$.
• Cinematica: La velocità di un punto in un corpo rigido in rotazione è $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$.
• Elettromagnetismo: La forza di Lorentz su una carica in moto è $\mathbf{F} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$.