Il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) è un’operazione definita nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3 che associa a due vettori \mathbf{u} e \mathbf{v} un terzo vettore \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}.
Caratteristiche del Vettore Risultante
Il vettore \mathbf{w} ha le seguenti proprietà:
- Direzione: È perpendicolare al piano formato da \mathbf{u} e \mathbf{v}.
- Verso: Determinato dalla regola della mano destra.
- Modulo: Pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori: \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin \theta
Calcolo tramite Determinante
Date le componenti \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) e \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3), il prodotto vettoriale può essere calcolato come: \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}
Proprietà Fondamentali
- Anticommutatività: \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u}).
- Parallelismo: \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v} (per vettori non nulli).
Significato Ingegneristico
- Momento di una forza: Il momento \mathbf{M} di una forza \mathbf{F} rispetto a un punto O è \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}.
- Cinematica: La velocità di un punto in un corpo rigido in rotazione è \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}.
- Elettromagnetismo: La forza di Lorentz su una carica in moto è \mathbf{F} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}).