Il metodo di Gauss (o eliminazione gaussiana) è l’algoritmo fondamentale per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari e per il calcolo dell’inversa e del rango di una matrice.
Funzionamento
L’obiettivo è trasformare la matrice dei coefficienti in una matrice triangolare superiore (o a gradini) tramite tre tipi di operazioni elementari sulle righe:
- Scambio di due righe.
- Moltiplicazione di una riga per una costante non nulla.
- Somma di una riga con il multiplo di un’altra riga.
Una volta ottenuta la forma a gradini, il sistema viene risolto agevolmente partendo dall’ultima equazione e procedendo verso l’alto (sostituzione all’indietro).
Pivot e Stabilità
Per migliorare la stabilità numerica ed evitare divisioni per zero, si utilizza la tecnica del pivoting (parziale o totale), che consiste nello scegliere come elemento direttore (pivot) il valore assoluto massimo disponibile nella colonna.
Significato Ingegneristico
- Risoluzione di Reti: Analisi di circuiti elettrici complessi tramite le leggi di Kirchhoff.
- Statica delle Strutture: Calcolo delle reazioni vincolari e delle sollecitazioni in travature reticolari.
- Calcolo Strutturale: È il motore interno dei risolutori diretti per il calcolo delle matrici di rigidezza globale nel metodo degli elementi finiti.
- Ottimizzazione: Risoluzione di problemi di programmazione lineare.