Un’applicazione lineare T:V\to W trasforma vettori rispettando somma e prodotto per scalare. I suoi due sottospazi fondamentali sono il nucleo (vettori che vanno in zero) e l’immagine (vettori effettivamente raggiunti). Il teorema delle dimensioni li lega in modo rigido. Questa scheda allena il calcolo di nucleo, immagine e proprietà.
Teorema delle dimensioni (rango-nullità): \;\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim V.
1. Matrice associata
Esercizio. Per T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 con T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y), scrivere la matrice associata nella base canonica.
Le colonne della matrice sono le immagini dei vettori della base:
T(1,0)=(1,3),\quad T(0,1)=(2,-1)\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}.
L’applicazione lineare si rappresenta come prodotto T(v)=Av. Le colonne di A sono le immagini della base canonica.
2. Nucleo
Esercizio. Trovare il nucleo di T(x,y,z)=(x+y+z,\ x-y) da \mathbb{R}^3 a \mathbb{R}^2.
Il nucleo è \{v:\ T(v)=0\}:
\begin{cases}x+y+z=0\\ x-y=0\end{cases}\Rightarrow x=y,\ z=-2y.
Posto y=t: (x,y,z)=(t,t,-2t)=t(1,1,-2). Il nucleo è generato da (1,1,-2):
\ker T=\langle(1,1,-2)\rangle,\qquad \dim(\ker T)=1.
3. Immagine
Esercizio. Per la stessa T del punto 2, trovare l’immagine e la sua dimensione.
L’immagine è generata dalle colonne della matrice associata \begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}. Le prime due colonne (1,1) e (1,-1) sono indipendenti e generano già tutto \mathbb{R}^2:
\operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2,\qquad \dim(\operatorname{Im} T)=2.
La dimensione dell’immagine è il rango della matrice associata.
4. Teorema delle dimensioni
Esercizio. Verificare il teorema rango-nullità per la T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dei punti 2-3.
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=1+2=3=\dim\mathbb{R}^3.\ \checkmark
Il teorema è verificato. È uno strumento di controllo potente: nota la dimensione di uno dei due sottospazi, si ricava subito l’altra.
5. Iniettività
Esercizio. L’applicazione T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y) (punto 1) è iniettiva?
Un’applicazione lineare è iniettiva se e solo se il nucleo è banale (\ker T=\{0\}). Equivalente: \det A\ne0:
\det\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}=-1-6=-7\ne0\ \Rightarrow\ \ker T=\{0\}.
T è iniettiva. Per applicazioni lineari, iniettività equivale a nucleo nullo: nessun vettore non nullo viene schiacciato in zero.
6. Suriettività
Esercizio. La T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 del punto 2 è suriettiva?
È suriettiva se l’immagine è tutto il codominio. Dal punto 3, \dim(\operatorname{Im} T)=2=\dim\mathbb{R}^2:
\operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2\ \Rightarrow\ T\ \text{suriettiva}.
Non è però iniettiva (nucleo di dimensione 1): un’applicazione da uno spazio più grande a uno più piccolo non può essere iniettiva.
7. Isomorfismo
Esercizio. Stabilire se T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y) è un isomorfismo.
Un isomorfismo è un’applicazione lineare biiettiva (iniettiva e suriettiva). Tra spazi di uguale dimensione finita, basta \det A\ne0:
\det A=-7\ne0\ \Rightarrow\ T\ \text{è un isomorfismo}.
Esiste l’inversa T^{-1}, rappresentata da A^{-1}. Un isomorfismo conserva tutta la struttura lineare: basi vanno in basi, dimensioni si conservano.
8. Applicazione non iniettiva da \mathbb R^2 a \mathbb R^2
Esercizio. Per T(x,y)=(x+y,\ 2x+2y), trovare nucleo e immagine.
La matrice associata è:
Le righe sono proporzionali, quindi il rango è 1. Il nucleo si trova imponendo:
La seconda equazione è ridondante. Da y=-x:
L’immagine è generata da una colonna non nulla, ad esempio:
Il controllo rango-nullità dà 1+1=2, dimensione del dominio.
9. Applicazione iniettiva ma non suriettiva
Esercizio. Stabilire se T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3, T(x,y)=(x,y,x+y), è iniettiva e/o suriettiva.
Il nucleo si ottiene da:
Quindi:
e T è iniettiva.
L’immagine è generata da:
Ha dimensione 2, quindi non può essere tutto \mathbb R^3, che ha dimensione 3. Dunque T non è suriettiva.
Questo è il caso tipico di un’immersione: nessuna informazione del dominio viene persa, ma il codominio è più grande dell’immagine.
10. Applicazione suriettiva ma non iniettiva
Esercizio. Stabilire se T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2, T(x,y,z)=(x+z,\ y-z), è iniettiva e/o suriettiva.
La matrice è:
Le prime due colonne sono (1,0) e (0,1), quindi generano \mathbb R^2:
L’applicazione è suriettiva. Per il teorema rango-nullità:
quindi non è iniettiva. Esplicitamente:
Da uno spazio di dimensione maggiore a uno di dimensione minore, la suriettività è possibile; l’iniettività no.
Errori comuni
- Confondere nucleo e immagine. Il nucleo sta nel dominio (vettori mandati in 0), l’immagine nel codominio (vettori raggiunti).
- Dimenticare il teorema delle dimensioni. \dim\ker+\dim\operatorname{Im}=\dim V riguarda la dimensione del dominio, non del codominio.
- Cercare l’iniettività senza il nucleo. Per le applicazioni lineari iniettività ⇔ \ker=\{0\}: è il test diretto.
- Pensare iniettiva ⇒ suriettiva sempre. Vale solo tra spazi di uguale dimensione; da \mathbb{R}^3 a \mathbb{R}^2 no.
- Confondere rango della matrice e dimensione del codominio. Il rango è la dimensione dell’immagine, non automaticamente tutta la dimensione di arrivo.
- Dimenticare le restrizioni dimensionali. Se \dim V<\dim W, non può essere suriettiva; se \dim V>\dim W, non può essere iniettiva.