Uno spazio vettoriale è un insieme in cui si possono sommare elementi e moltiplicarli per scalari rispettando assiomi precisi. I concetti chiave — indipendenza lineare, base, dimensione — permettono di descrivere lo spazio con il minor numero di vettori. Questa scheda allena queste verifiche, fondamento dell’algebra lineare.
1. Combinazione lineare
Esercizio. In \mathbb{R}^3, esprimere w=(5,7,9) come combinazione di u=(1,1,1) e v=(1,2,3), se possibile.
Si cercano scalari a,b con w=au+bv:
\begin{cases}a+b=5\\ a+2b=7\\ a+3b=9\end{cases}
Dalle prime due: b=2, a=3. Verifica nella terza: 3+3\times2=9. ✓
w=3u+2v.
w appartiene allo spazio generato da u,v: è una loro combinazione lineare.
2. Indipendenza lineare
Esercizio. I vettori u=(1,2,1), v=(2,1,0), w=(1,-1,-1) di \mathbb{R}^3 sono linearmente indipendenti?
Sono indipendenti se au+bv+cw=0 ammette solo la soluzione nulla. In forma di determinante:
\det\begin{pmatrix}1&2&1\\2&1&-1\\1&0&-1\end{pmatrix}=1(-1-0)-2(-2+1)+1(0-1)=-1+2-1=0.
Determinante nullo → vettori linearmente dipendenti: esiste una loro combinazione non banale che dà il vettore nullo. (Si verifica w=u-v, infatti (1,2,1)-(2,1,0)=(-1,1,1)=-w, da cui u-v+w=0.)
3. Verifica di una base
Esercizio. I vettori (1,0,1),(0,1,1),(1,1,0) formano una base di \mathbb{R}^3?
Tre vettori in \mathbb{R}^3 sono base se e solo se indipendenti, cioè se il determinante è non nullo:
\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}=1(0-1)-0+1(0-1)=-1-1=-2\ne0.
Determinante \ne0 → i tre vettori sono indipendenti e, essendo in numero pari alla dimensione, formano una base di \mathbb{R}^3.
4. Coordinate in una base
Esercizio. Nella base B=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\} del punto 3, trovare le coordinate di x=(2,3,3).
Si risolve x=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0):
\begin{cases}a+c=2\\ b+c=3\\ a+b=3\end{cases}
Sommando le tre: 2(a+b+c)=8\Rightarrow a+b+c=4. Quindi c=4-3=1, a=2-1=1, b=3-1=2:
[x]_B=(1,2,1).
Le coordinate sono i coefficienti unici nella base data. Verifica: 1(1,0,1)+2(0,1,1)+1(1,1,0)=(2,3,3). ✓
5. Dimensione di un sottospazio generato
Esercizio. Trovare la dimensione del sottospazio di \mathbb{R}^3 generato da (1,2,3),(2,4,6),(1,0,1).
Il primo e il secondo sono proporzionali (v_2=2v_1): contano come uno solo. Restano (1,2,3) e (1,0,1), non proporzionali → indipendenti:
\dim=2.
Il sottospazio è un piano in \mathbb{R}^3. La dimensione è il numero di vettori indipendenti tra i generatori (il rango della matrice associata).
6. Verifica di un sottospazio
Esercizio. L’insieme W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ x+y+z=0\} è un sottospazio? E V=\{(x,y,z):\ x+y+z=1\}?
Un sottospazio deve contenere il vettore nullo ed essere chiuso per somma e prodotto per scalare.
W: contiene (0,0,0) (0+0+0=0 ✓); se u,v\in W allora le loro componenti sommano a zero, e così la somma e i multipli → è un sottospazio (un piano per l’origine, \dim=2).
V: non contiene (0,0,0) (0\ne1) → non è un sottospazio. Le condizioni lineari omogenee (=0) danno sottospazi; quelle non omogenee (=1) no.
7. Estrarre una base da generatori ridondanti
Esercizio. Trovare una base del sottospazio generato da v_1=(1,0,1), v_2=(0,1,1), v_3=(1,1,2).
Osserviamo che:
Quindi v_3 è ridondante. I vettori v_1 e v_2 non sono proporzionali, quindi sono indipendenti.
Una base del sottospazio è:
La dimensione è 2. Estrarre una base significa eliminare i generatori che sono combinazioni lineari degli altri, mantenendo lo stesso span.
8. Completare una base di \mathbb R^3
Esercizio. Il vettore v_1=(1,1,0) può essere completato a una base di \mathbb R^3 con e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1)?
Verifichiamo il determinante della matrice con questi vettori come colonne:
I tre vettori sono indipendenti, quindi formano una base:
Un singolo vettore non nullo in \mathbb R^3 può sempre essere completato a una base; l’esercizio mostra un completamento esplicito.
9. Formula di Grassmann
Esercizio. In \mathbb R^3 siano U=\operatorname{span}(e_1,e_2) e V=\operatorname{span}(e_2,e_3). Calcolare \dim(U+V) e \dim(U\cap V).
L’intersezione contiene i vettori comuni ai due piani:
quindi:
La somma contiene e_1,e_2,e_3, quindi:
Verifica con la formula di Grassmann:
La formula evita conteggi intuitivi sbagliati quando sottospazi diversi condividono direzioni.
Errori comuni
- Confondere generatori e base. Un insieme di generatori può avere vettori superflui; la base è un insieme di generatori indipendenti (minimo).
- Dimenticare il vettore nullo. Un sottospazio deve contenere 0: le condizioni non omogenee lo escludono.
- Contare i vettori invece del rango. La dimensione del sottospazio generato è il numero di vettori indipendenti, non quanti ne sono elencati.
- Determinante nullo ⇒ base. È il contrario: determinante nullo significa dipendenza, quindi non è una base.
- Aggiungere dimensioni senza sottrarre l’intersezione. Per somme di sottospazi serve Grassmann: le direzioni comuni si contano una sola volta.
- Pensare che una base sia unica. Le basi di uno stesso spazio sono infinite; ciò che resta invariato è la dimensione.