Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente dalle stesse incognite. Un sistema di disequazioni richiede invece che tutte le disequazioni siano verificate contemporaneamente.
Sistemi di Equazioni
I metodi classici per sistemi lineari n \times n sono:
- Sostituzione: si ricava un’incognita da una equazione e la si sostituisce nelle altre.
- Riduzione (eliminazione di Gauss): si sommano equazioni opportunamente moltiplicate per eliminare un’incognita.
- Regola di Cramer: per sistemi con determinante non nullo, x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}.
Sistemi di Disequazioni
La soluzione di un sistema di disequazioni è l’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna disequazione. Si determina:
- Risolvendo ogni disequazione separatamente.
- Intersecando le soluzioni sulla retta reale (o nel piano, per sistemi in due variabili).
Discussione di un Sistema Lineare
Per il teorema di Rouché-Capelli, un sistema Ax = b è compatibile se e solo se \text{rk}(A) = \text{rk}(A|b):
- Se \text{rk}(A) = n (numero di incognite): soluzione unica.
- Se \text{rk}(A) < n: infinite soluzioni (dipendenti da n - \text{rk}(A) parametri).