La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è il risultato fondamentale che lega prodotto scalare e norma, rendendo ben definita la nozione di angolo tra vettori in qualsiasi spazio con prodotto scalare.
Vedi anche: Prodotto Scalare, Norma.
Enunciato
Sia V uno spazio vettoriale reale o complesso con prodotto scalare \langle \cdot, \cdot \rangle. Per ogni \vec{u}, \vec{v} \in V:
|\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|
dove \|\vec{u}\| = \sqrt{\langle \vec{u}, \vec{u} \rangle} è la norma indotta.
L’uguaglianza vale se e solo se \vec{u} e \vec{v} sono linearmente dipendenti (uno è multiplo scalare dell’altro).
Dimostrazione
Per il caso reale: si considera il polinomio in t:
0 \leq \|\vec{u} + t\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2t\langle\vec{u},\vec{v}\rangle + t^2\|\vec{v}\|^2
Questo quadratico in t è sempre \geq 0, quindi il discriminante è \leq 0:
4\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^2 - 4\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 \leq 0 \implies |\langle\vec{u},\vec{v}\rangle| \leq \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|
Casi Particolari
In \mathbb{R}^n (prodotto scalare euclideo): \left|\sum_{i=1}^n u_i v_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}
In L^2([a,b]) (funzioni a quadrato integrabile): \left|\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right| \leq \sqrt{\int_a^b f^2(x)\,dx} \cdot \sqrt{\int_a^b g^2(x)\,dx}
Per sequenze (\ell^2): \left|\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\right| \leq \sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_n^2} \cdot \sqrt{\sum_{n=1}^\infty b_n^2}
Angolo tra Vettori
La disuguaglianza garantisce che -1 \leq \dfrac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} \leq 1, rendendo ben definita la quantità:
\cos\theta = \frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}
che è il coseno dell’angolo \theta \in [0, \pi] tra i due vettori.
Disuguaglianza Triangolare
Dalla Cauchy-Schwarz segue la disuguaglianza triangolare:
\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|
Vedi: Valore Assoluto.
Applicazioni ingegneristiche
- Correlazione: il coefficiente di correlazione di Pearson r = \langle X, Y\rangle / (\|X\|\|Y\|) soddisfa |r| \leq 1 proprio per Cauchy-Schwarz; |r|=1 se e solo se la relazione è perfettamente lineare.
- Ottimizzazione: la disuguaglianza dà il limite superiore al valore di un prodotto scalare con un vincolo di norma, usato nei metodi di discesa del gradiente e nei moltiplicatori di Lagrange.
- Trasmissione dati: la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è alla base del bound di capacità di canale di Shannon e della disuguaglianza di incertezza di Heisenberg (nella formulazione di Hilbert).