Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è il risultato fondamentale che lega prodotto scalare e norma, rendendo ben definita la nozione di angolo tra vettori in qualsiasi spazio con prodotto scalare.

Vedi anche: Prodotto Scalare, Norma.

Enunciato

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale o complesso con prodotto scalare $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Per ogni $\vec{u}, \vec{v} \in V$:

$|\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|$

dove $\|\vec{u}\| = \sqrt{\langle \vec{u}, \vec{u} \rangle}$ è la norma indotta.

L’uguaglianza vale se e solo se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono linearmente dipendenti (uno è multiplo scalare dell’altro).

Dimostrazione

Per il caso reale: si considera il polinomio in $t$:

$0 \leq \|\vec{u} + t\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2t\langle\vec{u},\vec{v}\rangle + t^2\|\vec{v}\|^2$

Questo quadratico in $t$ è sempre $\geq 0$, quindi il discriminante è $\leq 0$:

$4\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^2 - 4\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 \leq 0 \implies |\langle\vec{u},\vec{v}\rangle| \leq \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$

Casi Particolari

In $\mathbb{R}^n$ (prodotto scalare euclideo): $\left|\sum_{i=1}^n u_i v_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}$

In $L^2([a,b])$ (funzioni a quadrato integrabile): $\left|\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right| \leq \sqrt{\int_a^b f^2(x)\,dx} \cdot \sqrt{\int_a^b g^2(x)\,dx}$

Per sequenze ($\ell^2$): $\left|\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\right| \leq \sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_n^2} \cdot \sqrt{\sum_{n=1}^\infty b_n^2}$

Angolo tra Vettori

La disuguaglianza garantisce che $-1 \leq \dfrac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} \leq 1$, rendendo ben definita la quantità:

$\cos\theta = \frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$

che è il coseno dell’angolo $\theta \in [0, \pi]$ tra i due vettori.

Disuguaglianza Triangolare

Dalla Cauchy-Schwarz segue la disuguaglianza triangolare:

$\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$

Vedi: Valore Assoluto.

Applicazioni ingegneristiche

• Correlazione: il coefficiente di correlazione di Pearson $r = \langle X, Y\rangle / (\|X\|\|Y\|)$ soddisfa $|r| \leq 1$ proprio per Cauchy-Schwarz; $|r|=1$ se e solo se la relazione è perfettamente lineare.
• Ottimizzazione: la disuguaglianza dà il limite superiore al valore di un prodotto scalare con un vincolo di norma, usato nei metodi di discesa del gradiente e nei moltiplicatori di Lagrange.
• Trasmissione dati: la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è alla base del bound di capacità di canale di Shannon e della disuguaglianza di incertezza di Heisenberg (nella formulazione di Hilbert).