Forma Bilineare

Una forma bilineare su uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è un’applicazione matematica $B: V \times V \to K$ che associa a ogni coppia di vettori uno scalare, operando in modo lineare rispetto a ciascuno dei due argomenti presi singolarmente.

Ovvero, per ogni vettore fissato, l’applicazione rispetto all’altro vettore è una trasformazione lineare:

1. $B(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}, \vec{w}) = \alpha B(\vec{u}, \vec{w}) + \beta B(\vec{v}, \vec{w})$
2. $B(\vec{u}, \alpha\vec{v} + \beta\vec{w}) = \alpha B(\vec{u}, \vec{v}) + \beta B(\vec{u}, \vec{w})$

Proprietà di Simmetria

• Una forma bilineare si dice simmetrica se l’ordine degli argomenti non conta: $B(\vec{u}, \vec{v}) = B(\vec{v}, \vec{u})$ per ogni $\vec{u}, \vec{v} \in V$.
• Si dice antisimmetrica (o alternante) se lo scambio degli argomenti cambia il segno: $B(\vec{u}, \vec{v}) = -B(\vec{v}, \vec{u})$.

Il prodotto scalare standard (o prodotto interno) nello spazio euclideo è l’esempio più noto e importante di forma bilineare simmetrica (e definita positiva).

Matrice Associata

Fissata una base $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ di $V$, la forma bilineare può essere completamente descritta da una matrice $M$ le cui entrate sono i prodotti tra i vettori della base: $M_{ij} = B(\vec{e}_i, \vec{e}_j)$. In questo modo, il calcolo della forma si riduce a un prodotto tra matrici: $B(\vec{u}, \vec{v}) = \mathbf{x}^T M \mathbf{y}$ (dove $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ sono i vettori colonna delle coordinate di $\vec{u}$ e $\vec{v}$).

Vedi anche: Forma Quadratica, Prodotto Scalare.