Formulario di Geometria e Algebra Lineare

Questo formulario raccoglie gli strumenti fondamentali di Geometria e Algebra Lineare per un corso di ingegneria. L’obiettivo non è solo elencare formule, ma spiegare che cosa misurano, quando si possono usare e quali ipotesi stanno dietro ogni scrittura.

La materia ha due anime inseparabili. La geometria traduce punti, rette, piani, distanze, angoli e superfici in equazioni. L’algebra lineare fornisce il linguaggio astratto e computazionale: matrici, sistemi lineari, spazi vettoriali, trasformazioni, autovalori e forme quadratiche. In ingegneria questi strumenti compaiono in statica, meccanica, elettronica, controlli, grafica, ottimizzazione, analisi numerica, vibrazioni, data analysis e modellazione fisica.

Le formule vanno sempre lette insieme al contesto: dimensione dello spazio, scelta della base, tipo di prodotto scalare, rango della matrice, condizioni di invertibilità e significato geometrico. Una stessa espressione può rappresentare una rotazione, un vincolo, un cambio di coordinate o un modello lineare: capirlo evita errori di calcolo e di interpretazione.

1. Richiami iniziali e notazione

Insiemi numerici principali

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$$

$\mathbb{N}$ indica i numeri naturali, $\mathbb{Z}$ gli interi, $\mathbb{Q}$ i razionali, $\mathbb{R}$ i reali e $\mathbb{C}$ i complessi. In geometria analitica e algebra lineare elementare si lavora quasi sempre su $\mathbb{R}$, perché coordinate, lunghezze e angoli sono grandezze reali. Il campo $\mathbb{C}$ diventa essenziale quando si studiano autovalori complessi, radici di polinomi e sistemi dinamici oscillanti.

N-upla ordinata

$$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$$

Una n-upla è una lista ordinata di $n$ numeri reali. L’ordine conta: $(1,2)$ e $(2,1)$ sono elementi diversi di $\mathbb{R}^2$. In geometria una n-upla può rappresentare le coordinate di un punto; in algebra lineare può rappresentare le componenti di un vettore rispetto a una base scelta.

Uguaglianza componente per componente

$$x=y \quad \Longleftrightarrow \quad x_i=y_i \ \text{per ogni } i=1,\dots,n$$

Due vettori coordinati sono uguali solo se coincidono tutte le componenti corrispondenti. Questa formula chiarisce perché l’algebra lineare è molto adatta al calcolo automatico: un’uguaglianza vettoriale equivale a un sistema di uguaglianze scalari.

Somma e prodotto per scalare in $\mathbb{R}^n$

$$x+y=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n),\qquad \alpha x=(\alpha x_1,\dots,\alpha x_n)$$

La somma si fa componente per componente. Il prodotto per scalare moltiplica ogni componente per lo stesso numero $\alpha$. Geometricamente, la somma di vettori corrisponde alla regola del parallelogramma; il prodotto per scalare cambia lunghezza e, se $\alpha$ è negativo, anche verso.

Vettore nullo

$$0=(0,0,\dots,0)$$

Il vettore nullo è l’elemento neutro della somma: $x+0=x$. Geometricamente non ha direzione privilegiata e ha lunghezza nulla. Compare spesso come termine destro nei sistemi omogenei, nelle definizioni di indipendenza lineare e nei nuclei delle applicazioni lineari.

Base canonica

$$e_1=(1,0,\dots,0),\quad e_2=(0,1,\dots,0),\quad \dots,\quad e_n=(0,\dots,0,1)$$

La base canonica di $\mathbb{R}^n$ contiene i vettori diretti lungo gli assi coordinati. Ogni vettore $x\in\mathbb{R}^n$ si scrive in modo unico come combinazione di questi vettori:

$$x=x_1e_1+x_2e_2+\dots+x_ne_n$$

Le componenti $x_i$ sono quindi i coefficienti della decomposizione di $x$ nella base canonica.

Delta di Kronecker

$$\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{se } i=j,\\ 0 & \text{se } i\ne j. \end{cases}$$

Il simbolo $\delta_{ij}$ serve a comprimere molte formule con indici. In particolare, nella base canonica euclidea vale $e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$: due versori canonici diversi sono ortogonali, mentre ciascun versore ha norma unitaria.

Sommatoria

$$\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\dots+a_n$$

La sommatoria abbrevia una somma finita. L’indice $i$ è un indice muto: può essere sostituito da un’altra lettera senza cambiare il valore della somma. In algebra lineare compare nel prodotto scalare, nel prodotto matrice-vettore, nel prodotto tra matrici e nelle combinazioni lineari.

Convenzione sugli indici

$$(Ax)_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j$$

Questa formula dice che l’i-esima componente del prodotto $Ax$ si ottiene moltiplicando la riga $i$ di $A$ per il vettore $x$. È una delle scritture più importanti del corso: una matrice trasforma un vettore producendo nuove componenti come combinazioni lineari delle vecchie.

Numeri complessi in forma cartesiana

$$z=a+ib,\qquad a,b\in\mathbb{R},\qquad i^2=-1$$

Il numero complesso $z$ ha parte reale $a$ e parte immaginaria $b$. Anche se il corso lavora spesso su spazi reali, i complessi sono inevitabili per il polinomio caratteristico: una matrice reale può non avere autovalori reali, ma su $\mathbb{C}$ il polinomio caratteristico si fattorizza completamente.

Modulo e coniugato complesso

$$\overline{z}=a-ib,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Il coniugato cambia il segno della parte immaginaria. Il modulo misura la distanza di $z$ dall’origine nel piano complesso. La relazione fondamentale è:

$$z\overline{z}=|z|^2$$

Questa identità è analoga a un prodotto scalare: moltiplicare un complesso per il suo coniugato produce una quantità reale non negativa.

Forma polare di un numero complesso

$$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}$$

$\rho=|z|$ è il modulo e $\theta$ è un argomento del numero complesso. La forma polare è utile perché trasforma prodotti e potenze in operazioni su moduli e angoli. Nello studio di autovalori complessi, $\rho$ descrive il fattore di amplificazione e $\theta$ la rotazione associata.

2. Punti, vettori geometrici e coordinate

Punto in coordinate cartesiane

$$P=(x_P,y_P)\in\mathbb{R}^2,\qquad P=(x_P,y_P,z_P)\in\mathbb{R}^3$$

Un punto è una posizione nello spazio affine. Le coordinate dipendono dal sistema di riferimento scelto: origine, assi e unità di misura. Cambiare riferimento cambia le coordinate, ma non cambia il punto geometrico.

Vettore applicato tra due punti

$$\overrightarrow{AB}=B-A$$

Se $A$ e $B$ sono punti, il vettore $\overrightarrow{AB}$ rappresenta lo spostamento che porta da $A$ a $B$. In coordinate:

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)$$

nel piano, e analogamente nello spazio con la terza componente. La sottrazione tra punti non produce un altro punto, ma un vettore.

Punto medio di un segmento

$$M=\frac{A+B}{2}$$

In coordinate piane:

$$M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Il punto medio è la media aritmetica delle coordinate degli estremi. La formula è affine: ha senso per punti perché i coefficienti della combinazione sono $\frac12$ e $\frac12$, la cui somma è $1$.

Baricentro di punti con pesi uguali

$$G=\frac{P_1+P_2+\dots+P_m}{m}$$

Il baricentro è il punto medio generalizzato di $m$ punti. In ingegneria compare nel calcolo di centri geometrici, centri di massa discreti e medie di posizioni. Se i punti hanno masse uguali, il baricentro è la media delle loro coordinate.

Baricentro con pesi

$$G=\frac{\sum_{i=1}^m \alpha_i P_i}{\sum_{i=1}^m \alpha_i},\qquad \sum_{i=1}^m \alpha_i\ne 0$$

I pesi $\alpha_i$ misurano l’importanza relativa dei punti. Se sono masse positive, $G$ è il centro di massa del sistema discreto. La condizione sul denominatore evita divisione per zero. Se i pesi sono tutti positivi, il baricentro cade nel convesso dei punti dati.

Coordinate baricentriche

$$P=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\dots+\lambda_mP_m,\qquad \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_m=1$$

Le coordinate baricentriche descrivono un punto come combinazione affine di altri punti. La somma dei coefficienti pari a $1$ è ciò che rende la formula indipendente dalla scelta dell’origine. Sono molto usate in geometria computazionale, elementi finiti e interpolazione su triangoli.

Distanza tra due punti nel piano

$$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

È il teorema di Pitagora scritto in coordinate. La distanza è sempre non negativa, vale zero solo se $A=B$ ed è simmetrica: $d(A,B)=d(B,A)$. La formula richiede coordinate cartesiane ortonormali, cioè assi perpendicolari e stessa scala lungo gli assi.

Distanza tra due punti nello spazio

$$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

La distanza tridimensionale estende la formula piana aggiungendo la componente verticale. È la norma del vettore spostamento $\overrightarrow{AB}$. In meccanica, questa è la lunghezza di un elemento rettilineo tra due nodi.

Norma euclidea di un vettore

$$\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots+v_n^2}$$

La norma misura la lunghezza del vettore. È sempre non negativa e si annulla solo per il vettore nullo. Nello spazio fisico rappresenta il modulo di una grandezza vettoriale: forza, velocità, spostamento o campo.

Versore associato a un vettore non nullo

$$\hat v=\frac{v}{\|v\|},\qquad v\ne 0$$

Il versore $\hat v$ ha la stessa direzione e lo stesso verso di $v$, ma lunghezza unitaria. La divisione per $\|v\|$ è possibile solo se $v$ non è nullo. Normalizzare un vettore è utile quando interessa la direzione ma non l’intensità.

Componenti di un vettore lungo una base ortonormale

$$v=(v\cdot e_1)e_1+(v\cdot e_2)e_2+\dots+(v\cdot e_n)e_n$$

Se $e_1,\dots,e_n$ è una base ortonormale, le componenti del vettore si ottengono con prodotti scalari. Questa formula spiega perché i sistemi di assi cartesiani ortogonali sono così comodi: proiettare su un asse dà direttamente la coordinata.

3. Prodotto scalare, angoli e proiezioni

Prodotto scalare euclideo

$$u\cdot v=\sum_{i=1}^n u_i v_i$$

Il prodotto scalare combina due vettori e restituisce un numero. È lineare in ciascun argomento, simmetrico e positivo su vettori non nulli. Geometricamente misura quanto un vettore è allineato con l’altro.

Relazione tra prodotto scalare e angolo

$$u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta$$

$\theta$ è l’angolo compreso tra $u$ e $v$. Se $\theta=0$, i vettori hanno stesso verso e il prodotto scalare è massimo positivo. Se $\theta=\frac{\pi}{2}$, il prodotto scalare è zero. Se $\theta=\pi$, i vettori hanno versi opposti e il prodotto scalare è negativo.

Coseno dell’angolo tra due vettori

$$\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|},\qquad u\ne 0,\ v\ne 0$$

La formula richiede vettori non nulli perché l’angolo con il vettore nullo non è definito. È utile per misurare parallelismo, ortogonalità e deviazione tra direzioni. In applicazioni numeriche, valori vicini a $1$ indicano direzioni quasi coincidenti; valori vicini a $0$ indicano quasi ortogonalità.

Ortogonalità

$$u\perp v \quad \Longleftrightarrow \quad u\cdot v=0$$

Due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo. La condizione algebrica sostituisce il disegno geometrico: basta una somma di prodotti componente per componente.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

$$|u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|$$

Questa disuguaglianza garantisce che il rapporto usato per calcolare $\cos\theta$ sia compreso tra $-1$ e $1$. L’uguaglianza vale se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti, cioè se uno è multiplo dell’altro.

Proiezione scalare di $u$ su $v$

$$\operatorname{comp}_v(u)=\frac{u\cdot v}{\|v\|},\qquad v\ne 0$$

La proiezione scalare è la lunghezza orientata della componente di $u$ lungo la direzione di $v$. È positiva se $u$ punta in prevalenza nello stesso verso di $v$, negativa se punta nel verso opposto, nulla se è ortogonale.

Proiezione vettoriale di $u$ su $v$

$$\operatorname{proj}_v(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v,\qquad v\ne 0$$

La proiezione vettoriale è il vettore parallelo a $v$ che meglio rappresenta la componente di $u$ lungo $v$. Il denominatore $v\cdot v=\|v\|^2$ normalizza rispetto alla lunghezza di $v$. Questa formula è la base di proiezioni ortogonali, minimi quadrati e decomposizione di forze.

Decomposizione parallela e ortogonale

$$u=\operatorname{proj}_v(u)+\left(u-\operatorname{proj}_v(u)\right)$$

Il primo termine è parallelo a $v$, il secondo è ortogonale a $v$. Questa decomposizione separa una grandezza nella parte utile lungo una direzione e nella parte residua trasversale. In meccanica è il modo naturale di separare componenti tangenziali e normali.

Teorema di Pitagora vettoriale

$$u\perp v \quad \Longrightarrow \quad \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$$

La formula discende dallo sviluppo:

$$\|u+v\|^2=(u+v)\cdot(u+v)=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2$$

Quando $u\cdot v=0$, il termine misto scompare. È la versione algebrica del teorema di Pitagora.

4. Prodotto vettoriale e prodotto misto

Prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^3$

$$u\times v= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

Il prodotto vettoriale è definito in modo canonico in $\mathbb{R}^3$. Il risultato è un vettore ortogonale sia a $u$ sia a $v$. Il verso è determinato dalla regola della mano destra, quindi dipende dall’orientazione scelta dello spazio.

Formula esplicita del prodotto vettoriale

$$u\times v= (u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)$$

Ogni componente è un determinante di ordine $2$. La formula è antisimmetrica: $u\times v=-(v\times u)$. Se $u$ e $v$ sono paralleli, il prodotto vettoriale è nullo.

Modulo del prodotto vettoriale

$$\|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta$$

Il modulo misura l’area del parallelogramma costruito su $u$ e $v$. Se i vettori sono paralleli, l’area è zero. Se sono ortogonali, l’area è il prodotto delle lunghezze.

Area del triangolo

$$A_{\triangle}=\frac12\|u\times v\|$$

Il triangolo costruito sugli stessi lati vettoriali occupa metà del parallelogramma. La formula è molto utile quando i vertici sono dati in coordinate: si costruiscono due lati come vettori e si prende metà del modulo del loro prodotto vettoriale.

Prodotto misto

$$[u,v,w]=u\cdot(v\times w)$$

Il prodotto misto è uno scalare. Il suo valore assoluto è il volume del parallelepipedo generato da $u$, $v$ e $w$. Il segno indica l’orientazione della terna: positiva o negativa rispetto al sistema di riferimento scelto.

Volume del parallelepipedo

$$V=|u\cdot(v\times w)|$$

Il valore assoluto elimina l’informazione di orientazione e lascia il volume geometrico. Se il volume è zero, i tre vettori sono complanari e quindi linearmente dipendenti in $\mathbb{R}^3$.

Prodotto misto come determinante

$$u\cdot(v\times w)= \det \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}$$

Il determinante raccoglie in una sola formula orientazione, volume e dipendenza lineare. Quando il determinante è nullo, il parallelepipedo è degenerato: i tre vettori giacciono nello stesso piano o uno è combinazione lineare degli altri.

5. Rette nel piano

Retta in forma implicita

$$ax+by+c=0,\qquad (a,b)\ne(0,0)$$

La coppia $(a,b)$ non può essere nulla, altrimenti l’equazione non descrive una retta. Il vettore $n=(a,b)$ è normale alla retta: è perpendicolare a ogni vettore direttore della retta. La forma implicita è comoda per verificare appartenenza e calcolare distanze.

Retta in forma esplicita

$$y=mx+q$$

$m$ è il coefficiente angolare e $q$ è l’intercetta sull’asse $y$. Questa forma descrive tutte le rette non verticali. Una retta verticale non può essere scritta così, perché avrebbe pendenza infinita.

Coefficiente angolare da due punti

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_2\ne x_1$$

La pendenza misura la variazione verticale divisa per la variazione orizzontale. La formula richiede $x_2\ne x_1$; se $x_2=x_1$, la retta passante per i due punti è verticale e ha equazione $x=x_1$.

Retta passante per un punto con direzione data

$$(x,y)=(x_0,y_0)+t(v_1,v_2),\qquad t\in\mathbb{R}$$

Questa è la forma parametrica. Il punto $(x_0,y_0)$ appartiene alla retta e $v=(v_1,v_2)$ è un vettore direttore non nullo. Il parametro $t$ scorre tutti i punti della retta: cambiando $t$ si avanza o si arretra lungo la direzione di $v$.

Equazione cartesiana da punto e normale

$$n\cdot\bigl((x,y)-(x_0,y_0)\bigr)=0$$

Se $n=(a,b)$ è normale alla retta, ogni vettore che congiunge il punto fissato $(x_0,y_0)$ a un punto generico $(x,y)$ della retta deve essere ortogonale a $n$. Espandendo si ottiene:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

Questa forma è spesso la più robusta perché parte direttamente da un vincolo di ortogonalità.

Parallelismo tra rette implicite

$$a_1b_2-a_2b_1=0$$

Le rette $a_1x+b_1y+c_1=0$ e $a_2x+b_2y+c_2=0$ sono parallele quando i loro vettori normali sono proporzionali. La condizione scritta è il determinante dei coefficienti delle normali. Se è nullo, le normali hanno la stessa direzione e quindi le rette sono parallele o coincidenti.

Perpendicolarità tra rette implicite

$$a_1a_2+b_1b_2=0$$

Le rette sono perpendicolari quando i loro vettori normali sono ortogonali. Poiché una retta è perpendicolare al proprio normale, l’ortogonalità tra le normali implica anche l’ortogonalità tra le rette.

Distanza punto-retta nel piano

$$d(P,r)=\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

La retta è $r: ax+by+c=0$. Il numeratore misura quanto il punto non soddisfa l’equazione della retta; il denominatore normalizza rispetto alla lunghezza del vettore normale. Senza questa normalizzazione, moltiplicare l’equazione della retta per una costante cambierebbe artificialmente la distanza.

Angolo tra due rette non verticali

$$\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|$$

La formula usa i coefficienti angolari $m_1$ e $m_2$. È valida quando il denominatore non si annulla. Se $1+m_1m_2=0$, le rette sono perpendicolari e l’angolo acuto è $\frac{\pi}{2}$.

6. Piani e rette nello spazio

Piano in forma implicita

$$ax+by+cz+d=0,\qquad (a,b,c)\ne(0,0,0)$$

Il vettore $n=(a,b,c)$ è normale al piano. La condizione $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ è necessaria: senza una normale non nulla non si individua alcuna direzione ortogonale e l’equazione non definisce un piano.

Piano per punto e normale

$$n\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0$$

Questa formula dice che il vettore dal punto fissato al punto generico del piano deve essere ortogonale alla normale $n$. Espandendo:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

È una forma molto usata in problemi geometrici e fisici perché la normale spesso ha significato diretto: direzione di vincolo, direzione di flusso, orientazione di una superficie.

Piano parametrico

$$P=P_0+s\,u+t\,v,\qquad s,t\in\mathbb{R}$$

$P_0$ è un punto del piano, mentre $u$ e $v$ sono due vettori direttori non paralleli. La condizione di non parallelismo è fondamentale: se $u$ e $v$ fossero proporzionali, la formula descriverebbe solo una retta.

Normale da due direzioni del piano

$$n=u\times v$$

Se $u$ e $v$ sono due direzioni indipendenti contenute nel piano, il loro prodotto vettoriale è ortogonale a entrambe, quindi è normale al piano. Questa formula collega direttamente forma parametrica e forma implicita.

Retta nello spazio in forma parametrica

$$P=P_0+t\,v,\qquad t\in\mathbb{R},\quad v\ne 0$$

Una retta nello spazio è determinata da un punto e da una direzione non nulla. In coordinate:

$$\begin{cases} x=x_0+tv_1,\\ y=y_0+tv_2,\\ z=z_0+tv_3. \end{cases}$$

Il parametro $t$ rappresenta una coordinata lungo la retta.

Retta come intersezione di due piani

$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0. \end{cases}$$

L’intersezione di due piani non paralleli è una retta. La direzione della retta è ortogonale a entrambe le normali, quindi:

$$v=n_1\times n_2$$

Se $n_1\times n_2=0$, i piani sono paralleli o coincidenti e l’intersezione non è una retta propria.

Distanza punto-piano

$$d(P,\pi)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

È la versione tridimensionale della distanza punto-retta. Il denominatore è la norma della normale al piano. La formula misura la lunghezza del segmento perpendicolare dal punto al piano.

Distanza punto-retta nello spazio

$$d(P,r)=\frac{\|(P-P_0)\times v\|}{\|v\|}$$

La retta è data da $P_0+t v$. Il numeratore è l’area del parallelogramma costruito sul vettore $P-P_0$ e sulla direzione $v$. Dividendo per la base $\|v\|$ si ottiene l’altezza, cioè la distanza del punto dalla retta.

Distanza tra rette sghembe

$$d(r_1,r_2)= \frac{|(P_2-P_1)\cdot(v_1\times v_2)|}{\|v_1\times v_2\|}$$

La formula vale per rette non parallele con direzioni $v_1$ e $v_2$. Il prodotto vettoriale $v_1\times v_2$ dà una direzione perpendicolare a entrambe. Il numeratore misura la componente del vettore che collega un punto di una retta a un punto dell’altra lungo questa direzione comune.

Angolo tra due piani

$$\cos\theta=\frac{|n_1\cdot n_2|}{\|n_1\|\,\|n_2\|}$$

L’angolo tra due piani si misura tramite l’angolo tra le loro normali. Il valore assoluto restituisce l’angolo acuto tra i piani, indipendente dall’orientazione delle normali.

Angolo tra retta e piano

$$\sin\theta=\frac{|v\cdot n|}{\|v\|\,\|n\|}$$

$v$ è la direzione della retta e $n$ la normale del piano. Si usa il seno perché l’angolo tra retta e piano è complementare all’angolo tra retta e normale. Se $v\cdot n=0$, la retta è parallela al piano.

7. Matrici e operazioni fondamentali

Matrice reale

$$A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$$

Una matrice $m\times n$ ha $m$ righe e $n$ colonne. L’elemento $a_{ij}$ si trova alla riga $i$ e alla colonna $j$. Le matrici rappresentano tabelle di coefficienti, trasformazioni lineari, sistemi di equazioni, operatori discreti e dati organizzati.

Uguaglianza tra matrici

$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad a_{ij}=b_{ij}\ \text{per ogni } i,j$$

Due matrici sono uguali solo se hanno la stessa dimensione e gli stessi elementi nelle stesse posizioni. Come per i vettori, l’uguaglianza matriciale equivale a molte uguaglianze scalari.

Somma di matrici

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$

La somma è definita solo per matrici della stessa dimensione. Ogni coefficiente della matrice somma è la somma dei coefficienti corrispondenti. Non si possono sommare matrici con numeri diversi di righe o colonne.

Prodotto per scalare

$$(\alpha A)_{ij}=\alpha a_{ij}$$

Moltiplicare una matrice per uno scalare significa moltiplicare tutti i suoi elementi per lo stesso numero. In un sistema fisico, può rappresentare un cambio di scala uniforme di tutti i coefficienti.

Prodotto matrice-vettore

$$Ax= \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^n a_{1j}x_j\\ \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \end{pmatrix}$$

Se $A$ è $m\times n$ e $x\in\mathbb{R}^n$, allora $Ax\in\mathbb{R}^m$. Ogni componente del risultato è il prodotto scalare di una riga di $A$ con il vettore $x$. Questa è la forma compatta dei sistemi lineari.

Prodotto tra matrici

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$$

Il prodotto $AB$ è definito se il numero di colonne di $A$ coincide con il numero di righe di $B$. L’elemento $(i,j)$ del prodotto nasce dalla riga $i$ di $A$ e dalla colonna $j$ di $B$. Il prodotto di matrici rappresenta la composizione di trasformazioni lineari.

Non commutatività del prodotto

$$AB\ne BA \quad \text{in generale}$$

L’ordine del prodotto conta. Applicare prima una rotazione e poi una proiezione non produce necessariamente lo stesso risultato dell’applicare prima la proiezione e poi la rotazione. Quando $AB=BA$, le due matrici si dicono commutanti, ma è una proprietà speciale.

Matrice identità

$$I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

La matrice identità lascia invariati i vettori:

$$I_nx=x$$

È l’elemento neutro del prodotto tra matrici quadrate compatibili: $AI=IA=A$.

Trasposta

$$(A^T)_{ij}=a_{ji}$$

La trasposta scambia righe e colonne. Se $A$ è $m\times n$, allora $A^T$ è $n\times m$. La trasposizione è essenziale per prodotti scalari, matrici simmetriche, sistemi normali dei minimi quadrati e cambi di base ortonormali.

Proprietà della trasposta

$$(A+B)^T=A^T+B^T,\qquad (\alpha A)^T=\alpha A^T,\qquad (AB)^T=B^TA^T$$

Nell’ultima formula l’ordine si inverte. Questo accade perché righe e colonne della composizione si scambiano. È una proprietà spesso usata per semplificare espressioni quadratiche e prodotti scalari.

Matrice simmetrica

$$A^T=A$$

Una matrice simmetrica è necessariamente quadrata. I suoi elementi sono speculari rispetto alla diagonale principale: $a_{ij}=a_{ji}$. Le matrici simmetriche rappresentano forme quadratiche reali, inerzie, rigidezze, covarianze e operatori autoaggiunti in base ortonormale.

Matrice antisimmetrica

$$A^T=-A$$

Una matrice antisimmetrica ha diagonale nulla, perché $a_{ii}=-a_{ii}$ implica $a_{ii}=0$. In dimensione tre le matrici antisimmetriche codificano prodotti vettoriali e velocità angolari.

Traccia

$$\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$$

La traccia è la somma degli elementi diagonali di una matrice quadrata. È invariante per similitudine: matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo in basi diverse hanno la stessa traccia. Inoltre, la traccia coincide con la somma degli autovalori contati con molteplicità algebrica.

Matrice diagonale

$$D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$$

Una matrice diagonale ha elementi non nulli solo sulla diagonale principale. Moltiplicare $Dx$ significa scalare indipendentemente ogni componente:

$$Dx=(d_1x_1,\dots,d_nx_n)$$

Le matrici diagonali sono semplici da interpretare e calcolare: potenze, determinanti e inverse si riducono a operazioni sugli elementi diagonali.

Matrice triangolare

$$a_{ij}=0 \quad \text{per } i>j$$

Questa formula descrive una matrice triangolare superiore: tutti gli elementi sotto la diagonale sono nulli. Per una triangolare inferiore si annullano invece gli elementi sopra la diagonale. Le matrici triangolari sono centrali nell’eliminazione di Gauss e nelle fattorizzazioni numeriche.

8. Sistemi lineari

Sistema lineare in forma matriciale

$$Ax=b$$

$A$ è la matrice dei coefficienti, $x$ è il vettore delle incognite, $b$ è il vettore dei termini noti. La scrittura compatta rappresenta un insieme di equazioni lineari:

$$\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i,\qquad i=1,\dots,m$$

Ogni riga di $A$ corrisponde a un’equazione.

Sistema omogeneo

$$Ax=0$$

Un sistema omogeneo ammette sempre almeno la soluzione nulla $x=0$. Le soluzioni formano un sottospazio vettoriale, chiamato nucleo della matrice. Se esistono soluzioni non nulle, il sistema ha gradi di libertà.

Sistema non omogeneo

$$Ax=b,\qquad b\ne 0$$

Un sistema non omogeneo può non avere soluzioni. Se ha almeno una soluzione particolare $x_p$, tutte le soluzioni si ottengono aggiungendo le soluzioni del sistema omogeneo associato:

$$x=x_p+x_h,\qquad Ax_h=0$$

Questa formula separa il contributo imposto dai termini noti dalla libertà interna del sistema.

Matrice completa

$$[A\mid b]$$

La matrice completa affianca ad $A$ la colonna dei termini noti. Serve per applicare l’eliminazione di Gauss alle equazioni e al termine noto nello stesso momento. Il simbolo verticale non è un’operazione algebrica speciale: è solo una separazione visiva tra coefficienti e dati.

Operazioni elementari di riga

$$R_i\leftrightarrow R_j,\qquad R_i\leftarrow \alpha R_i,\qquad R_i\leftarrow R_i+\alpha R_j$$

Le tre operazioni sono: scambio di righe, moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, sostituzione di una riga con la somma della riga stessa e di un multiplo di un’altra. Conservano l’insieme delle soluzioni del sistema perché corrispondono a combinazioni equivalenti delle equazioni.

Forma a scala

$$\begin{pmatrix} * & * & * & *\\ 0 & * & * & *\\ 0 & 0 & * & *\\ 0 & 0 & 0 & * \end{pmatrix}$$

Una forma a scala ha pivot che avanzano verso destra scendendo di riga. Gli zeri sotto i pivot rendono il sistema risolvibile per sostituzione all’indietro. Il simbolo $*$ indica un coefficiente generico, non necessariamente diverso da zero tranne quando rappresenta un pivot.

Rango di una matrice

$$\operatorname{rank}(A)=\text{numero di pivot in una riduzione a scala}$$

Il rango misura quante righe o colonne indipendenti contiene la matrice. È anche la dimensione dell’immagine dell’applicazione lineare associata. In un sistema lineare, il rango dice quante equazioni indipendenti sono effettivamente presenti.

Teorema di Rouché-Capelli

$$Ax=b \text{ è compatibile} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])$$

Un sistema è compatibile se ammette almeno una soluzione. Il confronto tra rango della matrice dei coefficienti e rango della matrice completa verifica se il termine noto aggiunge un vincolo incompatibile. Se il rango aumenta aggiungendo $b$, il sistema è impossibile.

Numero di parametri liberi

$$\text{parametri liberi}=n-\operatorname{rank}(A)$$

Per un sistema compatibile con $n$ incognite, il numero di parametri liberi è la differenza tra numero di incognite e rango. Se questa differenza è zero, la soluzione è unica. Se è positiva, esistono infinite soluzioni.

Sistema quadrato con soluzione unica

$$A\in M_{n\times n},\qquad \det A\ne 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \text{soluzione unica per ogni } b$$

Una matrice quadrata invertibile trasforma lo spazio senza schiacciarlo in una dimensione inferiore. Per questo ogni termine noto $b$ viene raggiunto da un unico $x$. La soluzione è:

$$x=A^{-1}b$$

Questa formula è teoricamente importante, ma numericamente non sempre conviene calcolare esplicitamente l’inversa.

Metodo di eliminazione di Gauss

$$Ax=b \quad \leadsto \quad Ux=c$$

L’eliminazione trasforma il sistema in uno equivalente con matrice triangolare superiore $U$. La sostituzione all’indietro trova poi le incognite partendo dall’ultima equazione. È il metodo base per risolvere sistemi lineari finiti.

Sostituzione all’indietro

$$x_i=\frac{c_i-\sum_{j=i+1}^n u_{ij}x_j}{u_{ii}}, \qquad i=n,n-1,\dots,1$$

La formula vale per una matrice triangolare superiore con diagonale non nulla. Ogni incognita $x_i$ si calcola quando le incognite successive sono già note. Il denominatore $u_{ii}$ deve essere diverso da zero: è il pivot della riga.

9. Determinanti e invertibilità

Determinante di una matrice $2\times2$

$$\det \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc$$

Il determinante misura l’area orientata del parallelogramma generato dalle due colonne della matrice. Se $ad-bc=0$, le colonne sono parallele e la trasformazione schiaccia il piano su una retta o su un punto.

Determinante di una matrice $3\times3$

$$\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix} =a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$

Questa è l’espansione lungo la prima riga. Ogni termine è un coefficiente moltiplicato per il determinante del minore ottenuto eliminando riga e colonna corrispondenti. Il determinante misura volume orientato nello spazio tridimensionale.

Cofattore

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

$M_{ij}$ è il minore ottenuto cancellando la riga $i$ e la colonna $j$. Il fattore $(-1)^{i+j}$ introduce il segno alternato. I cofattori servono per sviluppare determinanti e costruire l’aggiunta classica.

Espansione di Laplace

$$\det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}$$

La formula sviluppa il determinante lungo la riga $i$. Si può analogamente sviluppare lungo una colonna:

$$\det A=\sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij}$$

Conviene scegliere righe o colonne con molti zeri, perché molti termini della somma scompaiono.

Determinante e operazioni elementari

$$R_i\leftrightarrow R_j \Rightarrow \det \text{ cambia segno}$$

Scambiare due righe inverte l’orientazione. Inoltre:

$$R_i\leftarrow \alpha R_i \Rightarrow \det \text{ viene moltiplicato per } \alpha$$

Moltiplicare una riga scala il volume orientato dello stesso fattore. Infine:

$$R_i\leftarrow R_i+\alpha R_j \Rightarrow \det \text{ non cambia}$$

Aggiungere a una riga un multiplo di un’altra inclina il parallelepipedo ma non ne cambia il volume.

Determinante del prodotto

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$

Il determinante di una composizione è il prodotto dei fattori di scala orientati. Se $A$ raddoppia i volumi e $B$ li triplica, la composizione li moltiplica per sei.

Determinante della trasposta

$$\det(A^T)=\det(A)$$

Scambiare righe e colonne non cambia il determinante. Questa proprietà riflette il fatto che il rango per righe e il rango per colonne coincidono.

Invertibilità e determinante

$$A \text{ invertibile} \quad \Longleftrightarrow \quad \det A\ne 0$$

Per matrici quadrate, il determinante non nullo equivale a colonne linearmente indipendenti, rango massimo, nucleo banale e soluzione unica di $Ax=b$ per ogni $b$. Queste condizioni sono modi diversi di dire che la trasformazione non perde informazione.

Formula dell’inversa tramite aggiunta

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A),\qquad \det A\ne 0$$

$\operatorname{adj}(A)$ è la trasposta della matrice dei cofattori. La formula è importante teoricamente, ma per matrici grandi è inefficiente e instabile rispetto ai metodi basati su fattorizzazioni. Va usata soprattutto per matrici piccole o per dimostrazioni.

Regola di Cramer

$$x_i=\frac{\det A_i}{\det A}$$

La regola vale per sistemi quadrati $Ax=b$ con $\det A\ne 0$. La matrice $A_i$ si ottiene sostituendo la colonna $i$ di $A$ con il vettore $b$. Anche questa è una formula teoricamente elegante ma non il metodo preferito per il calcolo numerico di sistemi grandi.

10. Spazi vettoriali

Definizione operativa di spazio vettoriale

$$u+v\in V,\qquad \alpha u\in V$$

Uno spazio vettoriale è un insieme chiuso rispetto a somma e prodotto per scalare, con le usuali proprietà algebriche. Gli elementi si chiamano vettori, anche quando non sono frecce geometriche: possono essere polinomi, funzioni, matrici, segnali o soluzioni di equazioni differenziali lineari.

Sottospazio vettoriale

$$W\le V \quad \Longleftrightarrow \quad u,v\in W,\ \alpha,\beta\in\mathbb{R} \Rightarrow \alpha u+\beta v\in W$$

Un sottospazio contiene tutte le combinazioni lineari dei suoi elementi. Deve contenere il vettore nullo. Rette passanti per l’origine e piani passanti per l’origine sono sottospazi di $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$; rette o piani traslati non passanti per l’origine sono invece sottospazi affini, non vettoriali.

Combinazione lineare

$$v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\dots+\alpha_kv_k$$

Una combinazione lineare mescola vettori con coefficienti scalari. Questa è la costruzione di base dell’algebra lineare: rette, piani, sottospazi generati, soluzioni di sistemi omogenei e approssimazioni lineari nascono tutte da combinazioni lineari.

Sottospazio generato

$$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)= \left\{ \alpha_1v_1+\dots+\alpha_kv_k:\alpha_i\in\mathbb{R} \right\}$$

Lo span è l’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori dati. È il più piccolo sottospazio che li contiene. Se lo span coincide con tutto $V$, i vettori generano $V$.

Dipendenza lineare

$$\alpha_1v_1+\dots+\alpha_kv_k=0$$

I vettori sono linearmente dipendenti se esiste una scelta di coefficienti non tutti nulli che rende vera questa equazione. In quel caso almeno un vettore è ridondante, cioè può essere espresso come combinazione lineare degli altri.

Indipendenza lineare

$$\alpha_1v_1+\dots+\alpha_kv_k=0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0$$

I vettori sono indipendenti se l’unico modo di combinare linearmente i vettori per ottenere zero è usare tutti coefficienti nulli. L’indipendenza significa assenza di ridondanza.

Base

$$B=(v_1,\dots,v_n)$$

Una base di $V$ è una famiglia di vettori indipendenti che genera $V$. Ogni vettore $v\in V$ si scrive in modo unico come:

$$v=x_1v_1+\dots+x_nv_n$$

L’unicità delle coordinate è la ragione per cui le basi permettono di trasformare problemi geometrici astratti in calcoli su n-uple.

Coordinate rispetto a una base

$$[v]_B= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \quad \text{se} \quad v=x_1v_1+\dots+x_nv_n$$

Il simbolo $[v]_B$ indica il vettore colonna delle coordinate di $v$ nella base $B$. Non è il vettore geometrico in sé, ma la sua rappresentazione numerica rispetto a una base scelta.

Dimensione

$$\dim V=n$$

La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori di una qualunque sua base. Tutte le basi dello stesso spazio hanno lo stesso numero di elementi. La dimensione misura il numero di gradi di libertà necessari per descrivere un vettore dello spazio.

Formula di Grassmann

$$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$$

La somma $U+W$ contiene tutti i vettori della forma $u+w$. Se $U$ e $W$ hanno intersezione non banale, la semplice somma delle dimensioni conterebbe due volte la parte comune. Per questo si sottrae $\dim(U\cap W)$.

Somma diretta

$$V=U\oplus W \quad \Longleftrightarrow \quad V=U+W,\qquad U\cap W=\{0\}$$

La somma è diretta quando ogni vettore di $V$ si scrive in modo unico come $u+w$, con $u\in U$ e $w\in W$. L’intersezione nulla elimina l’ambiguità della decomposizione.

11. Applicazioni lineari

Linearità

$$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$$

Un’applicazione è lineare se preserva combinazioni lineari. Questa proprietà racchiude additività e omogeneità. Trasformazioni lineari tipiche sono rotazioni attorno all’origine, proiezioni su sottospazi, cambi di scala, derivate su spazi di funzioni e moltiplicazioni per matrici.

Matrice associata a un’applicazione lineare

$$[T(v)]_C=A[v]_B$$

La matrice $A$ trasforma le coordinate di $v$ nella base di partenza $B$ nelle coordinate di $T(v)$ nella base di arrivo $C$. È importante non applicare la matrice alle coordinate dell’immagine, ma alle coordinate del vettore di partenza.

Colonne della matrice rappresentativa

$$A= \begin{pmatrix} | & | & & |\\ [T(v_1)]_C & [T(v_2)]_C & \cdots & [T(v_n)]_C\\ | & | & & | \end{pmatrix}$$

Se $B=(v_1,\dots,v_n)$ è la base del dominio, le colonne della matrice sono le coordinate delle immagini dei vettori di base. Questa regola è fondamentale: per conoscere una trasformazione lineare basta conoscere dove manda una base.

Nucleo

$$\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}$$

Il nucleo contiene i vettori annullati dalla trasformazione. Misura le direzioni perse. Se il nucleo contiene solo lo zero, la trasformazione è iniettiva: vettori distinti non collassano sulla stessa immagine.

Immagine

$$\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}$$

L’immagine è l’insieme dei risultati raggiungibili. Per una matrice, è lo spazio generato dalle colonne. In un sistema $Ax=b$, il sistema è compatibile se e solo se $b$ appartiene all’immagine di $A$.

Teorema rango-nullità

$$\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T$$

La dimensione del dominio si divide tra gradi di libertà persi nel nucleo e gradi di libertà effettivamente visibili nell’immagine. Per una matrice $m\times n$:

$$n=\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{rank}(A)$$

dove $n$ è il numero di colonne.

Iniettività

$$T \text{ iniettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \ker T=\{0\}$$

Per applicazioni lineari, controllare l’iniettività è più semplice che per funzioni generiche: basta guardare quali vettori vanno in zero. Se solo il vettore nullo viene annullato, nessuna informazione direzionale viene persa.

Suriettività

$$T \text{ suriettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{Im}T=W$$

Se $T:V\to W$, la suriettività significa che ogni vettore dello spazio di arrivo è raggiungibile. In termini matriciali, il rango deve essere uguale alla dimensione del codominio.

Isomorfismo

$$T \text{ isomorfismo} \quad \Longleftrightarrow \quad T \text{ lineare, iniettiva e suriettiva}$$

Un isomorfismo conserva la struttura lineare senza perdita e senza ridondanza. Due spazi vettoriali finito-dimensionali reali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. La scelta di una base realizza concretamente un isomorfismo tra $V$ e $\mathbb{R}^n$.

12. Cambi di base e matrici simili

Matrice di cambio di base

$$P= \begin{pmatrix} | & | & & |\\ [v_1]_E & [v_2]_E & \cdots & [v_n]_E\\ | & | & & | \end{pmatrix}$$

Se $B=(v_1,\dots,v_n)$ è una base e $E$ è la base canonica, la matrice $P$ ha come colonne i vettori della nuova base scritti nella base canonica. Essa converte coordinate in base $B$ in coordinate canoniche:

$$[v]_E=P[v]_B$$

Le colonne di $P$ devono essere indipendenti, quindi $P$ deve essere invertibile.

Coordinate nella nuova base

$$[v]_B=P^{-1}[v]_E$$

Per trovare le coordinate di $v$ nella base $B$, si risolve un sistema lineare. L’inversa compare perché bisogna invertire la trasformazione che dalle coordinate in $B$ produceva le coordinate canoniche.

Cambio di base per un endomorfismo

$$A_B=P^{-1}A_E P$$

$A_E$ rappresenta l’applicazione nella base canonica, mentre $A_B$ la rappresenta nella base $B$. La matrice $P$ porta coordinate da $B$ a $E$; $A_E$ applica la trasformazione; $P^{-1}$ riporta il risultato in coordinate $B$.

Matrici simili

$$B=P^{-1}AP$$

Due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo in basi diverse. Hanno stesso determinante, stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stessi autovalori. Possono però avere coefficienti molto diversi.

Invarianti per similitudine

$$\det(P^{-1}AP)=\det A,\qquad \operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}A$$

Il determinante resta invariato perché:

$$\det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P)=\det A$$

La traccia è anch’essa indipendente dalla base. Gli invarianti sono grandezze legate alla trasformazione, non alla sua rappresentazione particolare.

Cambio di coordinate affine

$$x=P\xi+p_0$$

Qui $x$ sono le coordinate nel vecchio riferimento, $\xi$ nel nuovo, $P$ descrive le nuove direzioni di base e $p_0$ trasla l’origine. La parte lineare cambia assi e scala; il termine $p_0$ sposta l’origine. Questa formula è tipica in geometria analitica e robotica.

Coordinate omogenee

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}$$

Le coordinate omogenee permettono di rappresentare trasformazioni affini con matrici. Una trasformazione piana affine si scrive:

$$\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & p\\ c & d & q\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}$$

La colonna $(p,q)$ rappresenta la traslazione. Senza coordinate omogenee, una traslazione non sarebbe una trasformazione lineare perché non manda l’origine nell’origine.

13. Spazi euclidei, ortogonalità e minimi quadrati

Prodotto scalare astratto

$$\langle u,v\rangle$$

Un prodotto scalare su uno spazio reale è bilineare, simmetrico e definito positivo. In $\mathbb{R}^n$ con base canonica coincide con $u\cdot v$, ma in altri contesti può essere un integrale, una somma pesata o una forma definita da una matrice simmetrica positiva.

Norma indotta dal prodotto scalare

$$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$$

La norma nasce dal prodotto scalare misurando la lunghezza di un vettore. La positività del prodotto scalare garantisce che la radice sia reale e che la norma si annulli solo per il vettore nullo.

Base ortonormale

$$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$$

Una base è ortonormale se i vettori hanno norma uno e sono mutuamente ortogonali. In una base ortonormale, le coordinate si ottengono con prodotti scalari:

$$v=\sum_{i=1}^n \langle v,e_i\rangle e_i$$

Questa formula evita di risolvere un sistema lineare per trovare le coordinate.

Proiezione su un sottospazio con base ortonormale

$$\operatorname{proj}_W(v)=\sum_{i=1}^k \langle v,e_i\rangle e_i$$

Se $e_1,\dots,e_k$ è una base ortonormale di $W$, la proiezione ortogonale di $v$ su $W$ si ottiene sommando le componenti lungo quei vettori. Il residuo:

$$v-\operatorname{proj}_W(v)$$

è ortogonale a tutto $W$.

Metodo di Gram-Schmidt

$$u_1=v_1,\qquad u_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j$$

Il metodo trasforma una famiglia indipendente in una famiglia ortogonale che genera lo stesso sottospazio. A ogni passo si sottraggono da $v_k$ le componenti lungo le direzioni già costruite. La normalizzazione finale è:

$$e_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$$

Il risultato è una base ortonormale.

Matrice ortogonale

$$Q^TQ=I$$

Una matrice reale quadrata è ortogonale se le sue colonne formano una base ortonormale. In tal caso:

$$Q^{-1}=Q^T$$

Le matrici ortogonali conservano lunghezze e angoli. Rotazioni e riflessioni sono esempi fondamentali.

Conservazione della norma

$$\|Qx\|=\|x\|$$

Se $Q$ è ortogonale, allora:

$$\|Qx\|^2=(Qx)^T(Qx)=x^TQ^TQx=x^Tx=\|x\|^2$$

Questa proprietà spiega perché le trasformazioni ortogonali sono numericamente stabili: non amplificano artificialmente la lunghezza dei vettori.

Proiettore ortogonale

$$P=P^T,\qquad P^2=P$$

Una matrice $P$ è un proiettore ortogonale se è simmetrica e idempotente. La condizione $P^2=P$ significa che proiettare due volte equivale a proiettare una volta. La simmetria indica che la proiezione avviene ortogonalmente.

Proiettore su uno spazio colonna

$$P=A(A^TA)^{-1}A^T$$

La formula vale se le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti. Il proiettore manda un vettore sul sottospazio generato dalle colonne di $A$. La matrice $A^TA$ deve essere invertibile; ciò accade proprio quando le colonne di $A$ sono indipendenti.

Problema dei minimi quadrati

$$\min_x \|Ax-b\|^2$$

Quando il sistema $Ax=b$ è sovradeterminato e non compatibile, si cerca il vettore $x$ che rende minimo il residuo. Il residuo $r=b-Ax$ misura l’errore tra dato osservato e modello lineare.

Equazioni normali

$$A^TAx=A^Tb$$

Le equazioni normali derivano dalla condizione che il residuo sia ortogonale allo spazio generato dalle colonne di $A$:

$$A^T(b-Ax)=0$$

Sono una formula centrale in regressione lineare, identificazione di modelli e approssimazione numerica. Dal punto di vista numerico, quando possibile si preferisce spesso usare fattorizzazioni QR invece di formare esplicitamente $A^TA$.

Fattorizzazione QR

$$A=QR$$

$Q$ ha colonne ortonormali e $R$ è triangolare superiore. La fattorizzazione QR riscrive le colonne di $A$ in una base ortonormale del loro spazio colonna. È utile per minimi quadrati e risoluzione stabile di sistemi.

14. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

Autovalore e autovettore

$$Av=\lambda v,\qquad v\ne 0$$

$v$ è un autovettore se la trasformazione $A$ non ne cambia la direzione, ma solo la scala tramite il fattore $\lambda$. L’autovalore $\lambda$ può essere reale o complesso. La condizione $v\ne 0$ è obbligatoria: il vettore nullo soddisfa banalmente l’equazione per ogni $\lambda$, ma non dà una direzione.

Equazione caratteristica

$$\det(A-\lambda I)=0$$

Un autovettore non nullo esiste quando il sistema:

$$(A-\lambda I)v=0$$

ha soluzioni non banali. Ciò accade se e solo se $A-\lambda I$ non è invertibile, cioè se il suo determinante è nullo.

Polinomio caratteristico

$$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$

Il polinomio caratteristico raccoglie gli autovalori come sue radici. Per una matrice $n\times n$ ha grado $n$. La scelta $A-\lambda I$ o $\lambda I-A$ cambia eventualmente un segno globale, ma non cambia le radici.

Autospazio

$$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$$

L’autospazio associato a $\lambda$ contiene tutti gli autovettori relativi a $\lambda$ più il vettore nullo. È un sottospazio vettoriale. La sua dimensione è la molteplicità geometrica dell’autovalore.

Molteplicità algebrica e geometrica

$$1\le \dim E_\lambda \le m_a(\lambda)$$

$m_a(\lambda)$ è la molteplicità algebrica della radice $\lambda$ nel polinomio caratteristico. La dimensione dell’autospazio è la molteplicità geometrica. Se la molteplicità geometrica è più piccola di quella algebrica, mancano autovettori per diagonalizzare completamente.

Diagonalizzabilità

$$A=PDP^{-1}$$

La matrice $A$ è diagonalizzabile se esiste una base di autovettori. Le colonne di $P$ sono autovettori indipendenti e $D$ contiene gli autovalori corrispondenti sulla diagonale. In questa forma, l’azione di $A$ diventa una semplice scalatura lungo direzioni caratteristiche.

Condizione per diagonalizzare

$$A \text{ diagonalizzabile} \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{\lambda}\dim E_\lambda=n$$

La somma delle dimensioni degli autospazi deve fornire $n$ autovettori indipendenti. Se una matrice $n\times n$ ha $n$ autovalori distinti, è automaticamente diagonalizzabile. Autovalori ripetuti richiedono invece un controllo degli autospazi.

Potenze di una matrice diagonalizzabile

$$A^k=PD^kP^{-1}$$

Se $A=PDP^{-1}$, le potenze si calcolano facilmente perché:

$$D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$$

Questa formula è fondamentale per sistemi dinamici discreti, ricorrenze lineari e analisi di stabilità.

Esponenziale di matrice diagonalizzabile

$$e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$$

Con:

$$e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_nt})$$

Questa formula collega algebra lineare ed equazioni differenziali lineari. Gli autovalori determinano crescita, decadimento e oscillazione delle soluzioni.

Traccia e determinante tramite autovalori

$$\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\dots+\lambda_n,\qquad \det(A)=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$$

Le formule valgono contando gli autovalori con molteplicità algebrica, anche quando non tutti sono reali. La traccia misura la somma degli effetti lungo direzioni caratteristiche; il determinante misura il prodotto dei fattori di scala orientati.

Teorema di Cayley-Hamilton

$$p_A(A)=0$$

Ogni matrice quadrata annulla il proprio polinomio caratteristico. Se:

$$p_A(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2$$

allora:

$$A^2-3A+2I=0$$

Il teorema permette di ridurre potenze alte di una matrice a combinazioni di potenze più basse.

Teorema spettrale reale

$$A=A^T \quad \Longrightarrow \quad A=QDQ^T$$

Ogni matrice reale simmetrica è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale $Q$. Gli autovalori sono reali e gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Questo risultato è centrale per forme quadratiche, inerzia, vibrazioni e ottimizzazione.

Raggio spettrale

$$\rho(A)=\max_i|\lambda_i|$$

Il raggio spettrale è il massimo modulo degli autovalori. Nei sistemi dinamici discreti $x_{k+1}=Ax_k$, se $\rho(A)<1$ molte dinamiche decadono verso zero; se qualche autovalore ha modulo maggiore di uno, la direzione corrispondente tende ad amplificarsi.

15. Forme bilineari, forme quadratiche e definiteness

Forma bilineare

$$B(u,v)$$

Una forma bilineare è lineare in ciascun argomento. In coordinate, molte forme bilineari si scrivono:

$$B(u,v)=u^TAv$$

La matrice $A$ raccoglie i coefficienti della forma rispetto a una base scelta.

Forma quadratica

$$q(x)=x^TAx$$

Una forma quadratica è un polinomio omogeneo di secondo grado nelle componenti di $x$. Solo la parte simmetrica di $A$ contribuisce alla forma, perché:

$$x^TAx=x^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)x$$

Per questo, nello studio delle forme quadratiche reali si assume normalmente $A=A^T$.

Espressione in due variabili

$$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$$

La matrice simmetrica associata è:

$$A= \begin{pmatrix} a & b\\ b & c \end{pmatrix}$$

Il coefficiente misto della forma è $2bxy$ perché nella moltiplicazione $x^TAx$ compaiono sia il termine $bxy$ sia il termine $byx$.

Positiva definita

$$q(x)>0 \quad \text{per ogni } x\ne 0$$

Una forma quadratica positiva definita assegna valore positivo a ogni vettore non nullo. Geometricamente descrive un’energia con minimo stretto nell’origine. In ingegneria, matrici di rigidezza o di massa idealmente sono positive definite quando il modello è ben vincolato e fisicamente coerente.

Positiva semidefinita

$$q(x)\ge 0 \quad \text{per ogni } x$$

In questo caso la forma non diventa mai negativa, ma può annullarsi anche per vettori non nulli. Ciò indica direzioni a energia nulla, vincoli mancanti o degenerazioni.

Criterio di Sylvester per positiva definita

$$\Delta_k=\det A_k>0,\qquad k=1,\dots,n$$

$A_k$ è il minore principale nord-ovest di ordine $k$. Per una matrice simmetrica reale, la positività di tutti questi minori principali iniziali equivale alla positiva definitezza. È un criterio pratico perché evita di calcolare direttamente tutti gli autovalori.

Criterio spettrale

$$A=A^T,\qquad q(x)=x^TAx$$

Allora:

$$q \text{ positiva definita} \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda_i>0 \text{ per ogni } i$$

Gli autovalori di una matrice simmetrica indicano i coefficienti della forma quadratica in una base ortonormale di autovettori. Se sono tutti positivi, ogni direzione ha curvatura positiva.

Legge d’inerzia di Sylvester

$$q(x)=y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_{p+r}^2$$

Mediante un cambio di base reale invertibile, una forma quadratica si porta a una forma diagonale con coefficienti $1$, $-1$ e eventualmente $0$. Il numero di coefficienti positivi, negativi e nulli è invariante: non dipende dalla base scelta. Questa terna è la segnatura della forma.

Riduzione ortogonale di una forma quadratica

$$A=QDQ^T,\qquad x=Qy$$

Se $A$ è simmetrica, il teorema spettrale permette di scrivere:

$$x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$$

Questa è la forma più chiara: gli assi principali sono gli autovettori e i coefficienti principali sono gli autovalori.

16. Coniche nel piano

Equazione generale di una conica

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$

Una conica è il luogo dei punti del piano che soddisfano un’equazione di secondo grado. I termini quadratici determinano il tipo principale della curva; i termini lineari e costanti fissano posizione e traslazione.

Parte quadratica in forma matriciale

$$\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B/2\\ B/2 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$$

La matrice simmetrica associata alla parte quadratica è:

$$Q= \begin{pmatrix} A & B/2\\ B/2 & C \end{pmatrix}$$

Il termine $Bxy$ viene diviso tra le due posizioni simmetriche della matrice.

Discriminante quadratico

$$\Delta_q=B^2-4AC$$

Il segno di $\Delta_q$ aiuta a classificare la conica non degenere. In generale:

$$\Delta_q<0 \Rightarrow \text{ellisse o circonferenza}$$ $$\Delta_q=0 \Rightarrow \text{parabola}$$ $$\Delta_q>0 \Rightarrow \text{iperbole}$$

La classificazione completa richiede anche controllare degenerazioni e termini lineari.

Circonferenza

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,\qquad r>0$$

Il centro è $(a,b)$ e il raggio è $r$. Espandendo:

$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$

Una conica è una circonferenza quando i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ sono uguali e manca il termine $xy$, dopo eventuale semplificazione.

Ellisse canonica

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a,b>0$$

L’ellisse è limitata. Gli assi principali coincidono con gli assi coordinati nella forma canonica. Se $a>b$, il semiasse maggiore è lungo l’asse $x$; se $b>a$, è lungo l’asse $y$.

Iperbole canonica

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

L’iperbole ha due rami e asintoti:

$$y=\pm\frac{b}{a}x$$

Il segno opposto tra i termini quadratici indica che la forma associata è indefinita: ci sono direzioni positive e direzioni negative.

Parabola canonica

$$y^2=2px$$

Il parametro $p$ controlla l’apertura della parabola. La parabola ha una sola direzione quadratica effettiva; questo corrisponde al caso in cui la matrice della parte quadratica ha determinante nullo.

Rotazione degli assi per eliminare il termine misto

$$\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}$$

Quando $A\ne C$, una rotazione degli assi può eliminare il termine $xy$. In termini algebrici, si diagonalizza la matrice simmetrica della parte quadratica. Gli assi della conica sono direzioni proprie della matrice $Q$.

Centro di una conica

$$\nabla\left(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F\right)=0$$

Il centro, se esiste, è il punto in cui si annullano le derivate della funzione quadratica:

$$\begin{cases} 2Ax+By+D=0,\\ Bx+2Cy+E=0. \end{cases}$$

Risolvere questo sistema significa trovare la traslazione che elimina i termini lineari. Se il sistema non ha soluzione unica, la conica può essere parabolica o degenere.

17. Quadriche nello spazio

Equazione generale di una quadrica

$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+L=0$$

Una quadrica è l’analogo tridimensionale delle coniche. La parte di secondo grado determina il tipo geometrico principale; termini lineari e costante determinano posizione, traslazioni e possibili degenerazioni.

Parte quadratica matriciale

$$x^TQx,\qquad x= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$$

La matrice simmetrica $Q$ è:

$$Q= \begin{pmatrix} A & D/2 & E/2\\ D/2 & B & F/2\\ E/2 & F/2 & C \end{pmatrix}$$

I coefficienti misti vengono divisi simmetricamente perché $x^TQx$ contiene due volte i termini fuori diagonale.

Sfera

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$

Il centro è $(a,b,c)$ e il raggio è $r>0$. La sfera è l’insieme dei punti a distanza costante dal centro. I coefficienti quadratici sono uguali e non compaiono termini misti.

Ellissoide

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

L’ellissoide è una superficie chiusa e limitata. I parametri $a,b,c$ sono i semiassi principali. Se coincidono tutti, si ottiene una sfera.

Iperboloide a una falda

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

La presenza di due termini positivi e uno negativo produce una superficie connessa a forma di collo. Le sezioni orizzontali possono essere ellissi, mentre alcune sezioni verticali sono iperboli.

Iperboloide a due falde

$$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

Qui un solo termine ha segno positivo e due hanno segno negativo. La superficie ha due componenti separate, una per $z$ positivo e una per $z$ negativo, nella forma canonica mostrata.

Paraboloide ellittico

$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$

Il paraboloide ellittico ha sezioni orizzontali ellittiche e cresce in una direzione. È un modello geometrico ricorrente per superfici di energia con minimo isolato.

Paraboloide iperbolico

$$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$$

È la classica superficie a sella. La forma quadratica associata è indefinita: lungo una direzione cresce, lungo l’altra decresce. Questa geometria è la stessa che appare nel test del secondo ordine per punti critici di funzioni di due variabili.

Cono quadrico

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$$

Il cono passa per l’origine e contiene rette generatrici. È una quadrica degenere rispetto agli iperboloidi, perché il termine costante è nullo e la superficie ha un vertice singolare.

Cilindro quadrico

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

L’equazione non dipende da $z$, quindi ogni punto della curva piana genera una retta parallela all’asse $z$. Questa è la struttura di un cilindro: una conica estrusa lungo una direzione.

18. Trasformazioni geometriche fondamentali

Traslazione

$$T_p(x)=x+p$$

La traslazione sposta ogni punto dello stesso vettore $p$. Non è lineare come trasformazione di vettori perché $T_p(0)=p$, non $0$, salvo il caso $p=0$. È però una trasformazione affine.

Omotetia centrata nell’origine

$$H_\lambda(x)=\lambda x$$

L’omotetia moltiplica tutte le distanze dall’origine per $|\lambda|$. Se $\lambda>0$ conserva il verso lungo ogni retta passante per l’origine; se $\lambda<0$ introduce anche una simmetria centrale.

Rotazione nel piano

$$R_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

La rotazione di angolo $\theta$ attorno all’origine è una matrice ortogonale con determinante $1$. Conserva lunghezze, angoli e orientazione. Le colonne sono le immagini dei versori canonici.

Riflessione rispetto all’asse $x$

$$S= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

La riflessione lascia invariata la coordinata $x$ e cambia segno alla coordinata $y$. È ortogonale ma ha determinante $-1$, quindi conserva le lunghezze ma inverte l’orientazione.

Proiezione ortogonale sull’asse $x$

$$P= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Questa matrice manda $(x,y)$ in $(x,0)$. Non è invertibile perché perde la componente verticale. È idempotente: $P^2=P$.

Rotazione nello spazio attorno all’asse $z$

$$R_z(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La rotazione agisce sul piano $xy$ e lascia invariata la coordinata $z$. È un esempio di trasformazione tridimensionale costruita estendendo una rotazione piana.

Trasformazione affine generale

$$f(x)=Ax+b$$

$A$ descrive la parte lineare: rotazioni, scalature, deformazioni, proiezioni. Il vettore $b$ descrive la traslazione. Le trasformazioni affini mandano rette in rette e conservano parallelismo, ma non necessariamente lunghezze e angoli.

Punto fisso di una trasformazione affine

$$x=Ax+b$$

Un punto fisso resta invariato dalla trasformazione. Portando i termini simili:

$$(I-A)x=b$$

Il punto fisso esiste ed è unico se $I-A$ è invertibile. Questa formula compare in cinematica, iterazioni lineari e sistemi dinamici discreti.

19. Fattorizzazioni e strumenti computazionali

Fattorizzazione LU

$$A=LU$$

$L$ è triangolare inferiore e $U$ triangolare superiore. La fattorizzazione LU codifica l’eliminazione di Gauss. Una volta ottenuta, il sistema $Ax=b$ si risolve in due passi:

$$Ly=b,\qquad Ux=y$$

Il primo sistema si risolve per sostituzione in avanti, il secondo per sostituzione all’indietro.

Sostituzione in avanti

$$y_i=\frac{b_i-\sum_{j=1}^{i-1}l_{ij}y_j}{l_{ii}}, \qquad i=1,\dots,n$$

La formula vale per un sistema triangolare inferiore $Ly=b$ con diagonale non nulla. Ogni $y_i$ si calcola usando solo valori già trovati nelle righe precedenti.

Fattorizzazione di Cholesky

$$A=LL^T$$

La fattorizzazione di Cholesky vale per matrici simmetriche positive definite. È più efficiente della LU generica e molto usata per matrici di rigidezza, covariance matrix e problemi di minimi quadrati regolarizzati.

Decomposizione spettrale simmetrica

$$A=QDQ^T$$

Per $A$ simmetrica reale, $Q$ è ortogonale e $D$ diagonale reale. Questa decomposizione separa le direzioni principali dagli effetti di scala. È alla base dell’analisi degli assi principali e della diagonalizzazione delle forme quadratiche.

Decomposizione ai valori singolari

$$A=U\Sigma V^T$$

$U$ e $V$ sono ortogonali, mentre $\Sigma$ è diagonale rettangolare con valori singolari non negativi. La SVD descrive qualunque matrice reale come rotazione o riflessione, scalatura lungo assi principali e nuova rotazione o riflessione. È più generale della diagonalizzazione perché vale anche per matrici non quadrate.

Valori singolari

$$\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^TA)}$$

I valori singolari sono le radici quadrate degli autovalori di $A^TA$. Misurano i fattori di allungamento principali della trasformazione. Il valore singolare massimo indica la massima amplificazione di norma.

Norma matriciale indotta

$$\|A\|_2=\max_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}$$

Questa norma misura quanto la matrice può amplificare un vettore. Per la norma euclidea vale:

$$\|A\|_2=\sigma_{\max}(A)$$

dove $\sigma_{\max}$ è il massimo valore singolare.

Numero di condizionamento

$$\kappa_2(A)=\|A\|_2\|A^{-1}\|_2= \frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}$$

Il numero di condizionamento misura la sensibilità della soluzione di un sistema lineare rispetto a perturbazioni nei dati. Se $\kappa_2(A)$ è grande, piccoli errori su $A$ o $b$ possono produrre grandi errori su $x$.

Pseudoinversa di Moore-Penrose tramite SVD

$$A^+=V\Sigma^+U^T$$

La matrice $\Sigma^+$ si ottiene invertendo i valori singolari non nulli e trasponendo la forma rettangolare. La pseudoinversa permette di risolvere problemi di minimi quadrati e sistemi sottodeterminati scegliendo soluzioni con proprietà ottimali.

Soluzione di minima norma

$$x=A^+b$$

Quando un sistema ha infinite soluzioni, la pseudoinversa seleziona quella con norma euclidea minima. Quando il sistema è incompatibile, fornisce la soluzione dei minimi quadrati con norma minima tra le soluzioni ottime.

20. Schemi operativi da esame

Verificare se vettori sono indipendenti

$$\alpha_1v_1+\dots+\alpha_kv_k=0$$

Si costruisce la matrice con i vettori come colonne e si riduce a scala. Se il numero di pivot è $k$, i vettori sono indipendenti. Se il rango è minore di $k$, almeno un vettore è combinazione lineare degli altri.

Trovare una base dello span

$$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$$

Si mettono i vettori in colonna e si riduce la matrice. Le colonne pivot corrispondono a vettori originali che formano una base dello spazio generato. È importante prendere le colonne pivot della matrice originale, non necessariamente quelle della matrice ridotta.

Risolvere un sistema lineare

$$[A\mid b]\longrightarrow \text{forma a scala}$$

Si applicano operazioni elementari di riga. Poi si confrontano i ranghi: se appare una riga del tipo $0=1$, il sistema è incompatibile. Se è compatibile, si distinguono incognite pivot e incognite libere, quindi si scrive la soluzione parametrica.

Calcolare nucleo e immagine di una matrice

$$\ker A=\{x:Ax=0\},\qquad \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{\text{colonne di } A\}$$

Il nucleo si trova risolvendo il sistema omogeneo. L’immagine si trova prendendo una base delle colonne indipendenti. La dimensione del nucleo e quella dell’immagine devono soddisfare:

$$\dim\ker A+\operatorname{rank}A=n$$

dove $n$ è il numero di colonne.

Determinare la matrice di un’applicazione lineare

$$T(v_j)=\sum_i a_{ij}w_i$$

Si sceglie una base $B=(v_1,\dots,v_n)$ del dominio e una base $C=(w_1,\dots,w_m)$ del codominio. Si calcola l’immagine di ogni vettore di base del dominio e la si esprime nella base del codominio. Le coordinate ottenute formano le colonne della matrice.

Diagonalizzare una matrice

$$\det(A-\lambda I)=0$$

Prima si trovano gli autovalori risolvendo l’equazione caratteristica. Poi, per ogni autovalore, si calcola l’autospazio:

$$\ker(A-\lambda I)$$

Se gli autovettori ottenuti forniscono una base dello spazio, si costruisce $P$ mettendoli in colonna e $D$ disponendo gli autovalori nello stesso ordine.

Ridurre una forma quadratica

$$q(x)=x^TAx$$

Si rende esplicita la matrice simmetrica $A$. Poi si studiano autovalori o minori principali. Se si usa il teorema spettrale, si costruisce una base ortonormale di autovettori e si ottiene:

$$q(y)=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$$

La classificazione dipende dai segni degli autovalori.

Classificare una conica

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$

Si studia prima la parte quadratica tramite:

$$Q= \begin{pmatrix} A & B/2\\ B/2 & C \end{pmatrix}$$

Poi si elimina il termine misto con una rotazione, se necessario, e si cercano eventuali traslazioni che eliminano i termini lineari. Solo dopo si confronta con le forme canoniche di ellisse, parabola, iperbole o casi degeneri.

Classificare una quadrica

$$x^TQx+\ell^Tx+c=0$$

Si diagonalizza la matrice simmetrica $Q$ con una base ortonormale di autovettori. Si analizzano i termini lineari residui e si completano i quadrati quando possibile. I segni degli autovalori e la presenza di termini lineari determinano ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi, coni, cilindri o degenerazioni.

Controllo finale di coerenza geometrica

$$\text{formula} \quad + \quad \text{ipotesi} \quad + \quad \text{dimensione} \quad + \quad \text{significato}$$

Ogni esercizio di Geometria e Algebra Lineare va chiuso controllando quattro elementi: la formula usata, le ipotesi richieste, la dimensione degli oggetti coinvolti e il significato geometrico del risultato. Molti errori non nascono da calcoli difficili, ma da prodotti non compatibili, basi confuse, vettori nulli usati dove non sono ammessi o forme quadratiche classificate senza controllare le degenerazioni.