Formulario di Geometria e Algebra Lineare

Indice sistematico dei contenuti di Geometria e Algebra Lineare per studenti di ingegneria e ingegneri. Il compendio organizza gerarchicamente le definizioni, le formule e le dimostrazioni della disciplina.

Prerequisiti Fondamentali di Geometria e Algebra Lineare

Geometria Euclidea Piana

Postulati di Euclide e nozioni primitive
Angoli, classificazione e misura
Triangoli: classificazione, criteri di congruenza e similitudine
Punti notevoli del triangolo (baricentro, incentro, circocentro, ortocentro)
Teorema di Pitagora e teoremi di Euclide
Quadrilateri: parallelogrammi, rettangoli, rombi, trapezi
Poligoni regolari e proprietà
Circonferenza e cerchio: angoli al centro e alla circonferenza
Teorema delle corde, delle secanti e della tangente
Aree e perimetri delle figure piane fondamentali

Geometria Euclidea Solida

Rette e piani nello spazio: posizioni reciproche
Diedri, triedri e angoloidi
Poliedri: prismi, parallelepipedi, piramidi
Poliedri regolari (solidi platonici)
Solidi di rotazione: cilindro, cono, sfera
Aree, volumi e principio di Cavalieri
Sezioni piane di solidi

Trigonometria per la Geometria

Risoluzione di triangoli rettangoli
Teorema dei seni e teorema del coseno — vedi anche teoremi sui triangoli
Area di un triangolo: formula trigonometrica e formula di Erone
Risoluzione di triangoli qualunque

Geometria Analitica nel Piano (Richiami)

Sistema di riferimento cartesiano nel piano
Distanza tra due punti, punto medio, baricentro
Equazione della retta in forma esplicita, implicita, segmentaria
Parallelismo e perpendicolarità tra rette
Distanza punto-retta e tra rette parallele
Fascio di rette proprio e improprio
Coniche elementari (circonferenza, parabola, ellisse, iperbole)
Coordinate polari nel piano e formule di passaggio

Calcolo Combinatorio (Strumenti per Determinanti e Permutazioni)

Permutazioni, disposizioni, combinazioni
Coefficienti binomiali e formula di Newton
Permutazioni pari e dispari, segno di una permutazione

Strutture Algebriche Fondamentali

Insiemi e Funzioni

Operazioni tra insiemi e diagrammi di Venn
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive — vedi anche codominio e immagine
Composizione di funzioni e funzione inversa — vedi anche inversa
Relazioni di equivalenza e classi di equivalenza
Relazioni d’ordine e ordinamenti

Strutture Algebriche

Operazioni binarie e proprietà
Gruppi, sottogruppi, omomorfismi di gruppi
Anelli, ideali, domini di integrità
Campi e caratteristica di un campo
Campi $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ e $\mathbb{Z}_p$ — vedi anche campi finiti

Polinomi

Anello dei polinomi $K[x]$
Divisione tra polinomi, MCD, identità di Bézout
Radici di un polinomio e teorema del resto
Polinomi irriducibili e fattorizzazione unica
Teorema fondamentale dell’algebra

Spazi Vettoriali

Definizione e Proprietà

Definizione assiomatica di spazio vettoriale
Esempi notevoli: $\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{C}^n$ , spazi di funzioni, spazi di matrici
Sottospazi vettoriali: definizione e criteri
Combinazioni lineari e copertura lineare (span)
Intersezione e somma di sottospazi
Somma diretta e formula di Grassmann

Indipendenza Lineare, Basi, Dimensione

Dipendenza e indipendenza lineare
Sistemi di generatori
Basi di uno spazio vettoriale
Teorema della base e teorema di completamento
Dimensione di uno spazio vettoriale — vedi anche grado di libertà
Coordinate rispetto a una base e cambio di base
Spazio vettoriale quoziente

Matrici e Determinanti

Algebra delle Matrici

Matrici: definizione, tipi e notazione
Somma, prodotto per scalare, prodotto righe per colonne
Proprietà del prodotto matriciale
Matrice trasposta e matrice coniugata
Matrici quadrate notevoli: identità, diagonale, triangolare, simmetrica, antisimmetrica
Matrici hermitiane, anti-hermitiane, unitarie
Matrici ortogonali e proprietà
Traccia di una matrice e proprietà
Potenze di matrici e polinomi di matrici

Determinanti

Definizione di determinante (formula di Leibniz)
Sviluppo di Laplace per righe e colonne
Proprietà del determinante (multilinearità, alternanza, normalizzazione)
Teorema di Binet
Determinante della matrice trasposta e della matrice inversa
Calcolo del determinante con riduzione a forma triangolare
Minori, complementi algebrici, matrice dei cofattori
Regola di Sarrus per matrici $3 \times 3$

Inversa di una Matrice

Matrice invertibile e condizioni di invertibilità — vedi anche determinante
Calcolo dell’inversa tramite matrice aggiunta
Calcolo dell’inversa con il metodo di Gauss-Jordan
Inversa di matrici a blocchi

Rango di una Matrice

Definizione di rango per righe, per colonne, per minori
Teorema di Kronecker (caratterizzazione del rango)
Calcolo del rango con riduzione a scala
Spazio delle righe, spazio delle colonne, spazio nullo
Teorema di nullità più rango

Sistemi Lineari

Risoluzione di Sistemi Lineari

Sistemi lineari: forma matriciale e classificazione
Sistemi omogenei e non omogenei
Teorema di Rouché-Capelli
Metodo di eliminazione di Gauss e riduzione a scala
Metodo di Gauss-Jordan e forma a scala ridotta
Regola di Cramer
Sistemi parametrici e discussione

Structure delle Soluzioni

Spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo
Soluzione generale di un sistema non omogeneo
Sistemi sovradeterminati e sottodeterminati

Applicazioni Lineari

Definizione e Proprietà

Applicazioni lineari: definizione ed esempi
Nucleo (kernel) e immagine di un’applicazione lineare
Teorema della dimensione (nullità più rango)
Applicazioni iniettive, suriettive, isomorfismi
Endomorfismi e automorfismi
Spazi isomorfi e classificazione per dimensione

Matrice Associata e Cambio di Base

Matrice associata a un’applicazione lineare
Composizione di applicazioni e prodotto di matrici
Matrice di cambiamento di base
Trasformazione di coordinate e matrice di passaggio
Matrici simili e classi di similitudine

Spazio Duale

Forme lineari e spazio duale
Base duale
Applicazione duale (trasposta)
Biduale e isomorfismo canonico

Diagonalizzazione e Forma Canonica

Autovalori e Autovettori

Autovalori, autovettori, autospazi
Polinomio caratteristico
Calcolo di autovalori e autovettori
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
Spettro di una matrice

Diagonalizzazione

Endomorfismi diagonalizzabili: definizione e criteri
Teorema spettrale per matrici simmetriche reali
Teorema spettrale per matrici hermitiane
Diagonalizzazione di matrici normali
Diagonalizzazione simultanea di matrici
Calcolo di potenze e funzioni di matrici diagonalizzabili — vedi anche diagonalizzazione

Forme Canoniche

Polinomio minimo e teorema di Cayley-Hamilton
Forma canonica di Jordan (cenni e costruzione)
Blocchi di Jordan e catene di autovettori generalizzati
Decomposizione primaria
Calcolo dell’esponenziale di matrice $e^{At}$

Spazi Vettoriali con Prodotto Scalare

Prodotto Scalare e Norma

Forme bilineari e forme bilineari simmetriche
Prodotto scalare (definito positivo)
Spazi euclidei e spazi unitari (con prodotto hermitiano)
Norma indotta da un prodotto scalare
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Disuguaglianza triangolare — vedi anche valore assoluto
Angolo tra vettori e ortogonalità

Basi Ortogonali e Ortonormali

Basi ortogonali e ortonormali
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Proiezione ortogonale su un sottospazio
Complemento ortogonale
Decomposizione ortogonale
Coefficienti di Fourier rispetto a una base ortonormale
Identità di Parseval e disuguaglianza di Bessel

Applicazioni Lineari su Spazi Euclidei

Aggiunta di un’applicazione lineare
Operatori autoaggiunti (simmetrici/hermitiani)
Operatori unitari e ortogonali
Operatori normali e teorema spettrale generale
Decomposizione polare

Forme Bilineari e Quadratiche

Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche
Matrice associata a una forma bilineare
Cambiamento di base e matrici congruenti
Forme quadratiche: definizione e matrice associata
Riduzione a forma canonica (diagonale)
Segnatura e legge di inerzia di Sylvester
Forme definite, semidefinite, indefinite
Criterio di Sylvester per forme definite positive
Applicazioni alla classificazione di coniche e quadriche
Forme hermitiane

Geometria Analitica nel Piano

Vettori nel Piano

Vettori applicati e vettori liberi
Operazioni con vettori: somma, differenza, prodotto per scalare
Componenti di un vettore e versori della base
Prodotto scalare nel piano
Modulo, angolo tra vettori, proiezione ortogonale — vedi anche proiezione ortogonale

Rette nel Piano

Equazione cartesiana e parametrica della retta
Vettore direttore e vettore normale
Posizioni reciproche tra rette
Angolo tra due rette
Distanza punto-retta e tra rette parallele
Fasci di rette propri e impropri
Bisettrici di un angolo

Coniche nel Piano

Definizione metrica delle coniche (luogo dei punti)
Definizione tramite eccentricità e direttrice
Circonferenza: equazione canonica e generale
Parabola: vertice, fuoco, direttrice
Ellisse: assi, fuochi, eccentricità
Iperbole: assi, fuochi, eccentricità, asintoti
Coniche traslate e completamento del quadrato
Coniche ruotate: forma generale $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$
Classificazione delle coniche tramite invarianti
Riduzione a forma canonica
Coniche degeneri
Coniche in coordinate polari
Tangenti a una conica

Trasformazioni del Piano

Traslazioni nel piano
Rotazioni nel piano e matrice di rotazione
Riflessioni rispetto a rette
Omotetie e similitudini
Affinità del piano
Isometrie del piano e classificazione

Geometria Analitica nello Spazio

Vettori nello Spazio

Vettori in $\mathbb{R}^3$ : somma, prodotto per scalare
Componenti cartesiane e versori $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$
Prodotto scalare nello spazio
Prodotto vettoriale: definizione, regola della mano destra, proprietà
Prodotto misto e interpretazione geometrica (volume)
Doppio prodotto vettoriale e identità BAC-CAB
Calcolo di aree e volumi tramite prodotti vettoriali

Rette e Piani nello Spazio

Equazione cartesiana e parametrica del piano
Vettore normale al piano
Equazioni della retta: cartesiana (intersezione di piani), parametrica, simmetrica
Vettore direttore della retta
Posizioni reciproche tra rette
Posizioni reciproche tra retta e piano
Posizioni reciproche tra due piani
Rette sghembe, incidenti, parallele, complanari
Angoli tra rette, tra piani, tra retta e piano
Distanza punto-piano
Distanza punto-retta nello spazio
Distanza tra rette sghembe e perpendicolare comune
Fasci di piani e stelle di rette

Sfere e Circonferenze nello Spazio

Sfera: equazione canonica e generale
Posizioni reciproche tra retta e sfera, piano e sfera
Circonferenza nello spazio come intersezione
Tangenti e piani tangenti a una sfera
Fascio di sfere

Quadriche

Quadriche: equazione generale e classificazione
Ellissoide
Iperboloide a una falda e a due falde
Paraboloide ellittico e iperbolico
Cono quadrico
Cilindri quadrici (ellittici, parabolici, iperbolici)
Quadriche degeneri
Riduzione a forma canonica tramite invarianti
Centri, assi, piani di simmetria
Sezioni piane di quadriche
Rigate quadriche e generatrici

Coordinate Curvilinee nello Spazio

Coordinate cilindriche e formule di passaggio
Coordinate sferiche e formule di passaggio
Versori delle basi locali in coordinate cilindriche e sferiche

Trasformazioni dello Spazio

Traslazioni nello spazio
Rotazioni nello spazio: assi, angoli di Eulero
Matrici di rotazione e gruppo $SO(3)$
Rotazioni e quaternioni (cenni)
Riflessioni rispetto a piani
Isometrie dello spazio e classificazione
Affinità dello spazio
Trasformazioni rigide e movimenti

Geometria Differenziale delle Curve

Curve Parametriche

Curve in $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ : definizione e parametrizzazione
Curve regolari, semplici, chiuse
Cambiamento di parametro e parametrizzazione equivalente
Vettore tangente e retta tangente
Lunghezza d’arco e ascissa curvilinea
Parametrizzazione naturale (per ascissa curvilinea)

Curvatura e Torsione

Versore tangente, normale, binormale (terna di Frenet)
Piano osculatore, normale, rettificante
Curvatura: definizione e formule di calcolo
Cerchio osculatore e raggio di curvatura
Torsione: definizione e formule di calcolo
Formule di Frenet-Serret
Teorema fondamentale della teoria delle curve

Curve Notevoli

Curve piane: cicloide, cardioide, lemniscata, spirale di Archimede
Eliche cilindriche e coniche
Curve algebriche e curve trascendenti
Curve di Bézier (cenni per applicazioni CAD)

Geometria Differenziale delle Superfici

Superfici Parametriche

Superfici regolari: definizione e parametrizzazione
Cambiamento di parametri e superfici equivalenti
Vettori tangenti, piano tangente, vettore normale
Orientazione di superfici
Curve coordinate e linee di livello

Forme Fondamentali

Prima forma fondamentale (metrica indotta)
Calcolo di lunghezze, angoli, aree su superfici
Seconda forma fondamentale
Operatore di forma (mappa di Weingarten)

Curvature delle Superfici

Curvature principali e direzioni principali
Curvatura gaussiana e curvatura media
Punti ellittici, iperbolici, parabolici, ombelicali
Theorema Egregium di Gauss
Linee asintotiche e linee di curvatura

Geodetiche

Curvatura geodetica
Geodetiche: definizione e equazione differenziale
Geodetiche su superfici notevoli (sfera, cilindro, cono)
Trasporto parallelo (cenni)

Superfici Notevoli

Superfici di rotazione
Superfici rigate e sviluppabili
Superfici minime ed equazione di Lagrange
Toro, catenoide, elicoide

Geometria Proiettiva

Spazi Proiettivi

Definizione di spazio proiettivo $\mathbb{P}^n(K)$
Coordinate omogenee e classi di equivalenza
Punti propri e punti impropri (all’infinito)
Retta proiettiva, piano proiettivo, spazio proiettivo tridimensionale
Sottospazi proiettivi e dimensione
Formula di Grassmann proiettiva

Trasformazioni Proiettive

Proiettività e omografie
Matrice associata e gruppo proiettivo $PGL(n)$
Birapporto (cross-ratio) e invarianza proiettiva
Punti uniti e rette unite
Prospettività e teorema di Pappo
Teorema di Desargues
Dualità proiettiva

Coniche e Quadriche Proiettive

Coniche proiettive: equazione omogenea
Classificazione proiettiva delle coniche
Polo e polare rispetto a una conica
Punti di tangenza e tangenti da un punto esterno
Quadriche proiettive: equazione e classificazione
Punti doppi e singolarità
Teorema di Pascal e teorema di Brianchon

Applicazioni alla Computer Graphics

Coordinate omogenee per trasformazioni grafiche
Proiezione prospettica e proiezione parallela
Trasformazioni di vista e modello
Pipeline grafica e matrici di trasformazione

Algebra Tensoriale

Tensori Cartesiani

Definizione di tensore tramite legge di trasformazione
Convenzione di Einstein sugli indici ripetuti
Tensori di ordine zero (scalari), uno (vettori), due (matrici)
Tensori di ordine superiore
Componenti covarianti, controvarianti, miste
Tensore metrico e innalzamento/abbassamento di indici

Operazioni Tensoriali

Somma, prodotto per scalare, prodotto tensoriale
Contrazione di indici
Prodotto interno e prodotto esterno
Simmetrizzazione e antisimmetrizzazione
Tensori simmetrici e antisimmetrici
Simbolo di Kronecker e simbolo di Levi-Civita — vedi anche Levi-Civita
Identità $\varepsilon$ - $\delta$

Tensori Notevoli e Applicazioni

Tensore di inerzia e momenti di inerzia
Tensore degli sforzi (Cauchy)
Tensore delle deformazioni
Tensore di elasticità (Hooke)
Tensore elettromagnetico (cenni)
Autovalori e direzioni principali di un tensore simmetrico
Invarianti tensoriali
Decomposizione in parte sferica e deviatorica

Cenni di Calcolo Tensoriale

Campi tensoriali
Derivata covariante (cenni)
Simboli di Christoffel (cenni)
Operatori differenziali in forma tensoriale (gradiente, divergenza, rotore)

Algebra Lineare Numerica

Aritmetica Finita ed Errori

Rappresentazione in virgola mobile (floating point)
Errori di arrotondamento e propagazione
Condizionamento di un problema
Stabilità di un algoritmo

Norme e Condizionamento

Norme vettoriali ( $\ell^1$ , $\ell^2$ , $\ell^\infty$ )
Norme matriciali e norme indotte
Numero di condizionamento di una matrice
Stima dell’errore nei sistemi lineari

Sistemi Lineari: Metodi Diretti

Eliminazione di Gauss con pivoting parziale e totale
Fattorizzazione LU
Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche definite positive
Fattorizzazione QR (Gram-Schmidt, Householder, Givens)
Risoluzione di sistemi triangolari
Costo computazionale dei metodi diretti

Sistemi Lineari: Metodi Iterativi

Metodo di Jacobi
Metodo di Gauss-Seidel
Metodo SOR (Successive Over-Relaxation)
Convergenza dei metodi iterativi e raggio spettrale
Metodo del gradiente coniugato
Metodi di Krylov (cenni: GMRES, BiCGSTAB)
Precondizionatori

Calcolo Numerico di Autovalori

Metodo delle potenze
Metodo delle potenze inverse e con shift
Algoritmo QR per autovalori
Trasformazione in forma di Hessenberg
Localizzazione degli autovalori (teorema di Gershgorin)

Decomposizioni Matriciali

Decomposizione SVD (Singular Value Decomposition)
Pseudoinversa di Moore-Penrose
Decomposizione spettrale di matrici simmetriche
Decomposizione polare
Approssimazione a basso rango e troncamento SVD

Problemi ai Minimi Quadrati

Sistemi sovradeterminati e equazioni normali
Risoluzione tramite QR
Risoluzione tramite SVD
Regressione lineare e polinomiale — vedi anche regressione polinomiale
Minimi quadrati con vincoli

Matrici Sparse e Algoritmi Specializzati

Strutture dati per matrici sparse (CSR, CSC, COO)
Riordinamento per minimizzare il fill-in
Risoluzione efficiente di sistemi sparsi
Algoritmi per matrici a banda e tridiagonali