Polinomio Caratteristico

Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata $A \in M_n(K)$ è il polinomio che codifica tutte le informazioni spettrali della matrice: le sue radici sono esattamente gli autovalori.

Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Determinante.

Definizione

$p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$

È un polinomio di grado $n$ nella variabile $\lambda$, con coefficiente direttore $1$ (monico):

$p_A(\lambda) = \lambda^n - (\operatorname{tr} A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A$

I coefficienti sono invarianti per similarità: matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Autovalori come Radici

$\lambda_0$ è un autovalore di $A$ se e solo se $p_A(\lambda_0) = 0$, ovvero se $\det(\lambda_0 I - A) = 0$.

Lo spettro di $A$ è l’insieme degli autovalori: $\sigma(A) = \{\lambda \in K \mid p_A(\lambda) = 0\}$.

Per il teorema fondamentale dell’algebra, su $\mathbb{C}$ il polinomio caratteristico ha sempre $n$ radici (contate con molteplicità). Vedi: Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Molteplicità Algebrica e Geometrica

Per ogni autovalore $\lambda_0$:

• Molteplicità algebrica $m_a(\lambda_0)$: molteplicità di $\lambda_0$ come radice di $p_A(\lambda)$.
• Molteplicità geometrica $m_g(\lambda_0)$: dimensione dell’autospazio $\ker(\lambda_0 I - A)$, cioè il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a $\lambda_0$.

Vale sempre: $1 \leq m_g(\lambda_0) \leq m_a(\lambda_0)$.

La matrice è diagonalizzabile se e solo se $m_g(\lambda_0) = m_a(\lambda_0)$ per ogni autovalore.

Calcolo Pratico

Per $n = 2$: $p_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A$

Per $n = 3$ si usa lo sviluppo di Laplace o la regola di Sarrus sul determinante $\det(\lambda I - A)$.

Per $n$ grande il calcolo diretto è instabile numericamente: si usano metodi iterativi (algoritmo QR). Vedi: Fattorizzazione QR.

Polinomio Minimo

Il polinomio minimo $m_A(\lambda)$ è il polinomio monico di grado minimo tale che $m_A(A) = 0$ (matrice nulla). Divide il polinomio caratteristico e ha le stesse radici (ma con molteplicità eventualmente minori).

Vedi: Teorema di Cayley-Hamilton.

Applicazioni ingegneristiche

• Stabilità dei sistemi: gli autovalori della matrice di sistema $A$ in $\dot{x} = Ax$ determinano la stabilità; il polinomio caratteristico è il denominatore della funzione di trasferimento.
• Frequenze proprie: le frequenze naturali di una struttura sono le radici quadrate degli autovalori della matrice $M^{-1}K$ (massa-rigidezza).
• Analisi modale sperimentale: il polinomio caratteristico è stimato dai dati di vibrazione per identificare poli e residui del sistema.