Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A \in M_n(K) è il polinomio che codifica tutte le informazioni spettrali della matrice: le sue radici sono esattamente gli autovalori.
Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Determinante.
Definizione
p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)
È un polinomio di grado n nella variabile \lambda, con coefficiente direttore 1 (monico):
p_A(\lambda) = \lambda^n - (\operatorname{tr} A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A
I coefficienti sono invarianti per similarità: matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Autovalori come Radici
\lambda_0 è un autovalore di A se e solo se p_A(\lambda_0) = 0, ovvero se \det(\lambda_0 I - A) = 0.
Lo spettro di A è l’insieme degli autovalori: \sigma(A) = \{\lambda \in K \mid p_A(\lambda) = 0\}.
Per il teorema fondamentale dell’algebra, su \mathbb{C} il polinomio caratteristico ha sempre n radici (contate con molteplicità). Vedi: Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Molteplicità Algebrica e Geometrica
Per ogni autovalore \lambda_0:
- Molteplicità algebrica m_a(\lambda_0): molteplicità di \lambda_0 come radice di p_A(\lambda).
- Molteplicità geometrica m_g(\lambda_0): dimensione dell’autospazio \ker(\lambda_0 I - A), cioè il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a \lambda_0.
Vale sempre: 1 \leq m_g(\lambda_0) \leq m_a(\lambda_0).
La matrice è diagonalizzabile se e solo se m_g(\lambda_0) = m_a(\lambda_0) per ogni autovalore.
Calcolo Pratico
Per n = 2: p_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A
Per n = 3 si usa lo sviluppo di Laplace o la regola di Sarrus sul determinante \det(\lambda I - A).
Per n grande il calcolo diretto è instabile numericamente: si usano metodi iterativi (algoritmo QR). Vedi: Fattorizzazione QR.
Polinomio Minimo
Il polinomio minimo m_A(\lambda) è il polinomio monico di grado minimo tale che m_A(A) = 0 (matrice nulla). Divide il polinomio caratteristico e ha le stesse radici (ma con molteplicità eventualmente minori).
Vedi: Teorema di Cayley-Hamilton.
Applicazioni ingegneristiche
- Stabilità dei sistemi: gli autovalori della matrice di sistema A in \dot{x} = Ax determinano la stabilità; il polinomio caratteristico è il denominatore della funzione di trasferimento.
- Frequenze proprie: le frequenze naturali di una struttura sono le radici quadrate degli autovalori della matrice M^{-1}K (massa-rigidezza).
- Analisi modale sperimentale: il polinomio caratteristico è stimato dai dati di vibrazione per identificare poli e residui del sistema.