Matrici, determinanti e rango: esercizi svolti

Le matrici sono lo strumento di calcolo dell’algebra lineare: rappresentano sistemi, trasformazioni e dati. Tre grandezze ne riassumono il comportamento: il determinante (invertibilità e volume), il rango (numero di righe indipendenti) e l’inversa. Questa scheda allena il calcolo di queste quantità.

1. Prodotto di matrici

Esercizio. Calcolare $AB$ con $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ .

Ogni elemento è prodotto riga per colonna:

$AB=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}.$

Il prodotto non è commutativo: in generale $AB\ne BA$ . Le dimensioni devono essere compatibili (colonne di $A$ = righe di $B$ ).

2. Determinante 2×2

Esercizio. Calcolare $\det A$ per $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

$\det A=ad-bc=1\times4-2\times3=4-6=-2.$

Il determinante $\ne0$ → la matrice è invertibile. Geometricamente è l’area (con segno) del parallelogramma generato dalle righe.

3. Determinante 3×3 con Sarrus

Esercizio. Calcolare $\det\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ .

Regola di Sarrus (diagonali discendenti meno ascendenti):

$\det=(2\cdot3\cdot2+1\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot1)-(0\cdot3\cdot0+1\cdot1\cdot2+2\cdot1\cdot1).$

$\det=(12+0+0)-(0+2+2)=12-4=8.$

Sarrus vale solo per matrici $3\times3$ . Per ordini superiori si usa Laplace o la riduzione a triangolare.

4. Determinante con sviluppo di Laplace

Esercizio. Calcolare lo stesso determinante sviluppando lungo la prima colonna.

Lo sviluppo di Laplace somma i prodotti elemento × cofattore:

$\det=2\det\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}-1\det\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}+0.$

$\det=2(6-1)-1(2-0)+0=2\times5-2=10-2=8.$

Coerente con Sarrus. Conviene sviluppare lungo la riga o colonna con più zeri, che annullano termini.

5. Proprietà del determinante

Esercizio. Sapendo $\det A=8$ per la matrice $3\times3$ del punto 3, calcolare $\det(2A)$ .

Moltiplicare l’intera matrice $n\times n$ per uno scalare $k$ moltiplica il determinante per $k^n$ :

$\det(2A)=2^3\det A=8\times8=64.$

Attenzione: il fattore è $k^n$ (qui $2^3$ ), non $k$ : ogni riga contribuisce con un fattore $k$ .

6. Rango per riduzione

Esercizio. Calcolare il rango di $\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}$ .

Riduzione di Gauss. $R_2\to R_2-2R_1$ e $R_3\to R_3-R_1$ :

$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}.$

Restano due righe non nulle indipendenti (la prima e la terza ridotta):

$\text{rango}=2.$

La seconda riga era doppia della prima e si è annullata. Il rango è il numero di righe non nulle dopo la riduzione (numero di pivot).

7. Matrice inversa 2×2

Esercizio. Calcolare l’inversa di $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ( $\det A=-2$ ).

Formula per il $2\times2$ :

\begin{aligned} A^{-1} &=\dfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4&-2\\ -3&1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -2&1\\ \dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}

Verifica: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ . ✓ L’inversa esiste solo se $\det\ne0$ .

8. Invertibilità e rango pieno

Esercizio. Collegare determinante, rango e invertibilità per una matrice $n\times n$ .

Per una matrice quadrata $n\times n$ le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\det A\ne0\ \Leftrightarrow\ \text{rango}(A)=n\ \Leftrightarrow\ A\ \text{invertibile}\ \Leftrightarrow\ \text{righe (colonne) indipendenti}.$

La matrice del punto 6 ha rango $2<3$ → determinante nullo → non invertibile. Rango pieno è la condizione cardine: lega tra loro tutti i concetti.

9. Effetto delle operazioni elementari sul determinante

Esercizio. Sapendo che

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

ha $\det A=-2$ , determinare come cambia il determinante se si scambiano le due righe, poi se si moltiplica la prima riga per $5$ .

Scambiare due righe cambia segno al determinante:

\det\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}=2.

Moltiplicare una riga per $5$ moltiplica il determinante per $5$ :

\det\begin{pmatrix}5&10\\3&4\end{pmatrix} =5\det A=-10.

Invece sommare a una riga un multiplo di un’altra riga non cambia il determinante. Queste regole sono la base del calcolo del determinante tramite eliminazione di Gauss.

10. Sistema lineare e rango

Esercizio. Studiare il sistema

\begin{cases} x+2y+3z=1,\\ 2x+4y+6z=2,\\ x+y+z=0. \end{cases}

La matrice dei coefficienti è quella del punto 6:

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix},

con rango $2$ . Consideriamo la matrice completa:

(A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&3&1\\ 2&4&6&2\\ 1&1&1&0 \end{pmatrix}.

Riduciamo:

R_2\to R_2-2R_1,\qquad R_3\to R_3-R_1.

Otteniamo

\begin{pmatrix} 1&2&3&1\\ 0&0&0&0\\ 0&-1&-2&-1 \end{pmatrix}.

Anche la matrice completa ha rango $2$ . Per Rouché-Capelli:

\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid b)=2<3,

quindi il sistema è compatibile indeterminato: ha infinite soluzioni con un parametro libero.

Dalla riga ridotta:

-y-2z=-1\quad\Rightarrow\quad y=1-2z.

Dalla prima equazione:

x+2(1-2z)+3z=1 \quad\Rightarrow\quad x-z=-1 \quad\Rightarrow\quad x=z-1.

Ponendo $z=t$ :

(x,y,z)=(t-1,\ 1-2t,\ t),\qquad t\in\mathbb R.

11. Determinante di una triangolare

Esercizio. Calcolare

\det\begin{pmatrix} 2&-1&4\\ 0&3&5\\ 0&0&-2 \end{pmatrix}.

La matrice è triangolare superiore. Il determinante è il prodotto degli elementi diagonali:

\det A=2\cdot3\cdot(-2)=-12.

Il risultato segue perché nello sviluppo del determinante tutti i prodotti non diagonali contengono almeno un elemento sotto la diagonale, quindi nullo. Le matrici triangolari sono il punto di arrivo naturale della riduzione di Gauss.

12. Rango di una matrice rettangolare

Esercizio. Calcolare il rango di

B=\begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&4&2&0\\ 0&1&1&1 \end{pmatrix}.

Riduciamo le righe:

R_2\to R_2-2R_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&1&1 \end{pmatrix}.

Restano due righe non nulle indipendenti:

\operatorname{rank}(B)=2.

Per matrici rettangolari non si parla di determinante della matrice intera, ma il rango resta definito: è il numero massimo di righe o colonne indipendenti, equivalente al numero di pivot.

Errori comuni

Assumere $AB=BA$ . Il prodotto di matrici non è commutativo; l’ordine conta.
Usare Sarrus oltre il 3×3. Sarrus vale solo per matrici $3\times3$ ; per ordini maggiori serve Laplace o la riduzione.
Dimenticare l’esponente in $\det(kA)$ . È $k^n\det A$ , non $k\det A$ .
Invertire una matrice singolare. Se $\det=0$ l’inversa non esiste: prima si verifica l’invertibilità.
Confondere rango della matrice dei coefficienti e della completa. Per i sistemi lineari bisogna confrontarli entrambi.
Cercare determinanti di matrici non quadrate. Le rettangolari non hanno determinante, ma hanno rango.