Uno spazio vettoriale su un campo (solitamente o ) è un insieme dotato di due operazioni che soddisfano otto assiomi fondamentali (proprietà associativa, commutativa, esistenza dell’elemento neutro, ecc.).
Concetti Chiave
- Sottospazio vettoriale: Un sottoinsieme dello spazio che è esso stesso uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni.
- Base: Un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l’intero spazio.
- Dimensione: Il numero di vettori in una base dello spazio.
Significato Ingegneristico
- Analisi dei Sistemi: Lo spazio di stato di un sistema dinamico è uno spazio vettoriale in cui ogni punto rappresenta una possibile configurazione del sistema.
- Elaborazione Segnali: L’insieme dei segnali a energia finita forma uno spazio vettoriale (spazio di Hilbert). Operazioni come il filtraggio o la trasformata di Fourier sono operatori lineari che agiscono in questo spazio.
- Meccanica: Lo spazio delle configurazioni di un corpo rigido o di un braccio robotico è modellato tramite spazi vettoriali e varietà differenziabili.
- Elementi Finiti (FEM): Il metodo FEM approssima la soluzione di equazioni differenziali cercando la soluzione migliore in un sottospazio vettoriale di dimensione finita (spazio delle funzioni di forma).