Teorema di Cayley-Hamilton

Il teorema di Cayley-Hamilton afferma che ogni matrice quadrata è radice del proprio polinomio caratteristico. È uno dei risultati più utili dell’algebra lineare per il calcolo esplicito con le matrici.

Vedi anche: Polinomio Caratteristico, Forma Canonica di Jordan.

Enunciato

Sia $A \in M_n(K)$ e sia $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ il suo polinomio caratteristico. Allora:

$p_A(A) = \mathbf{0}$

cioè, sostituendo la variabile $\lambda$ con la matrice $A$, si ottiene la matrice nulla.

Esempio per $n = 2$: se $p_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A$, allora $A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = 0$.

Dimostrazione (schema)

La dimostrazione più elegante usa la matrice aggiunta (o dei cofattori): si scrive $(\lambda I - A)\operatorname{adj}(\lambda I - A) = p_A(\lambda)I$, si espande entrambi i membri come polinomi in $\lambda$ e si confrontano i coefficienti dopo aver sostituito $A$ al posto di $\lambda$.

Polinomio Minimo

Il polinomio minimo $m_A(\lambda)$ di $A$ è il polinomio monico di grado minimo tale che $m_A(A) = \mathbf{0}$.

Proprietà:

• $m_A(\lambda)$ divide $p_A(\lambda)$ (per Cayley-Hamilton, $p_A$ annulla $A$).
• $m_A$ e $p_A$ hanno le stesse radici (gli stessi autovalori), ma con molteplicità eventualmente diverse.
• $A$ è diagonalizzabile $\Leftrightarrow$ $m_A$ non ha radici multiple.

Applicazioni al Calcolo con Matrici

Riduzione delle potenze

Cayley-Hamilton implica che $A^n$ è combinazione lineare di $I, A, A^2, \ldots, A^{n-1}$. Ogni potenza $A^k$ con $k \geq n$ si riduce quindi a combinazione delle prime $n$ potenze, rendendo finito il calcolo.

Calcolo dell’inversa

Per una matrice invertibile ($\det A \neq 0$), da $p_A(A) = 0$:

$A^n - c_{n-1}A^{n-1} - \cdots - c_1 A - c_0 I = 0 \implies A^{-1} = -\frac{1}{c_0}(A^{n-1} - c_{n-1}A^{n-2} - \cdots - c_1 I)$

Calcolo di funzioni di matrici

Se $f(\lambda)$ è una funzione analitica, $f(A)$ si esprime come combinazione lineare di $I, A, \ldots, A^{n-1}$ usando la divisione polinomiale $f(\lambda) = q(\lambda)p_A(\lambda) + r(\lambda)$ (il resto $r$ ha grado $< n$).

Applicazioni ingegneristiche

• Sistemi di controllo: la condizione di raggiungibilità (criterio di Kalman) usa potenze della matrice $A$ fino all’ordine $n-1$; Cayley-Hamilton garantisce che non serve andare oltre.
• Calcolo di $e^{At}$: si riduce all’interpolazione del polinomio $e^{\lambda t}$ sugli autovalori di $A$, sfruttando il fatto che $e^{At}$ è combinazione di $I, At, \ldots, (At)^{n-1}$. Vedi: Esponenziale di Matrice.
• Filtri digitali ricorsivi: la relazione di ricorrenza di un filtro IIR di ordine $n$ è l’equazione matriciale $p_A(A)\vec{x} = 0$.