Il teorema di Cayley-Hamilton afferma che ogni matrice quadrata è radice del proprio polinomio caratteristico. È uno dei risultati più utili dell’algebra lineare per il calcolo esplicito con le matrici.
Vedi anche: Polinomio Caratteristico, Forma Canonica di Jordan.
Enunciato
Sia A \in M_n(K) e sia p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) il suo polinomio caratteristico. Allora:
p_A(A) = \mathbf{0}
cioè, sostituendo la variabile \lambda con la matrice A, si ottiene la matrice nulla.
Esempio per n = 2: se p_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A, allora A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = 0.
Dimostrazione (schema)
La dimostrazione più elegante usa la matrice aggiunta (o dei cofattori): si scrive (\lambda I - A)\operatorname{adj}(\lambda I - A) = p_A(\lambda)I, si espande entrambi i membri come polinomi in \lambda e si confrontano i coefficienti dopo aver sostituito A al posto di \lambda.
Polinomio Minimo
Il polinomio minimo m_A(\lambda) di A è il polinomio monico di grado minimo tale che m_A(A) = \mathbf{0}.
Proprietà:
- m_A(\lambda) divide p_A(\lambda) (per Cayley-Hamilton, p_A annulla A).
- m_A e p_A hanno le stesse radici (gli stessi autovalori), ma con molteplicità eventualmente diverse.
- A è diagonalizzabile \Leftrightarrow m_A non ha radici multiple.
Applicazioni al Calcolo con Matrici
Riduzione delle potenze
Cayley-Hamilton implica che A^n è combinazione lineare di I, A, A^2, \ldots, A^{n-1}. Ogni potenza A^k con k \geq n si riduce quindi a combinazione delle prime n potenze, rendendo finito il calcolo.
Calcolo dell’inversa
Per una matrice invertibile (\det A \neq 0), da p_A(A) = 0:
A^n - c_{n-1}A^{n-1} - \cdots - c_1 A - c_0 I = 0 \implies A^{-1} = -\frac{1}{c_0}(A^{n-1} - c_{n-1}A^{n-2} - \cdots - c_1 I)
Calcolo di funzioni di matrici
Se f(\lambda) è una funzione analitica, f(A) si esprime come combinazione lineare di I, A, \ldots, A^{n-1} usando la divisione polinomiale f(\lambda) = q(\lambda)p_A(\lambda) + r(\lambda) (il resto r ha grado < n).
Applicazioni ingegneristiche
- Sistemi di controllo: la condizione di raggiungibilità (criterio di Kalman) usa potenze della matrice A fino all’ordine n-1; Cayley-Hamilton garantisce che non serve andare oltre.
- Calcolo di e^{At}: si riduce all’interpolazione del polinomio e^{\lambda t} sugli autovalori di A, sfruttando il fatto che e^{At} è combinazione di I, At, \ldots, (At)^{n-1}. Vedi: Esponenziale di Matrice.
- Filtri digitali ricorsivi: la relazione di ricorrenza di un filtro IIR di ordine n è l’equazione matriciale p_A(A)\vec{x} = 0.