Prodotto scalare e ortogonalizzazione: esercizi svolti

Il prodotto scalare introduce in uno spazio vettoriale i concetti metrici: lunghezza (norma), angolo e ortogonalità. Da esso nascono le proiezioni e il procedimento di Gram-Schmidt, che trasforma una base qualsiasi in una base ortonormale. Questa scheda allena questi calcoli, centrali in geometria e nei minimi quadrati.

Prodotto scalare standard in $\mathbb{R}^n$ :

u\cdot v=\sum_i u_i v_i.

1. Prodotto scalare e norma

Esercizio. Per $u=(1,2,2)$ calcolare la norma; per $u$ e $v=(2,0,1)$ il prodotto scalare.

Norma:

$\|u\|=\sqrt{u\cdot u}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt9=3.$

Prodotto scalare:

$u\cdot v=1\times2+2\times0+2\times1=2+0+2=4.$

La norma è la lunghezza del vettore; il prodotto scalare misura quanto due vettori “puntano nella stessa direzione”.

2. Angolo tra due vettori

Esercizio. Calcolare l’angolo tra $u=(1,2,2)$ e $v=(2,0,1)$ (dal punto 1).

Dalla definizione $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta$ :

$\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}=\dfrac{4}{3\times\sqrt{4+0+1}}=\dfrac{4}{3\sqrt5}=\dfrac{4}{6{,}71}=0{,}596.$

$\theta=\arccos(0{,}596)=53{,}4^\circ.$

Il coseno dell’angolo è il prodotto scalare normalizzato. Vettori ortogonali hanno prodotto scalare nullo ( $\theta=90^\circ$ ).

3. Verifica di ortogonalità

Esercizio. I vettori $(1,2,-1)$ e $(3,-1,1)$ sono ortogonali?

Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo:

$(1,2,-1)\cdot(3,-1,1)=3-2-1=0.$

Prodotto scalare nullo → ortogonali ( $\theta=90^\circ$ ). L’ortogonalità è la condizione $u\cdot v=0$ , senza bisogno di calcolare l’angolo.

4. Proiezione ortogonale

Esercizio. Proiettare $u=(3,4)$ sul vettore $v=(1,0)$ .

La proiezione di $u$ su $v$ :

$\operatorname{proj}_v u=\dfrac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v=\dfrac{3\times1+4\times0}{1}\,(1,0)=3(1,0)=(3,0).$

La proiezione è la “ombra” di $u$ nella direzione di $v$ . La componente ortogonale è $u-\operatorname{proj}_v u=(0,4)$ , perpendicolare a $v$ .

5. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Esercizio. Verificare Cauchy-Schwarz per $u=(1,2,2)$ e $v=(2,0,1)$ .

La disuguaglianza afferma $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$ :

$|u\cdot v|=4,\qquad \|u\|\|v\|=3\times\sqrt5=6{,}71.$

$4\le6{,}71.\ \checkmark$

L’uguaglianza vale solo se i vettori sono paralleli. Cauchy-Schwarz garantisce che $\cos\theta\in[-1,1]$ , dando senso all’angolo.

6. Gram-Schmidt: primo passo

Esercizio. Ortogonalizzare la base $v_1=(1,1,0)$ , $v_2=(1,0,1)$ di un sottospazio con Gram-Schmidt (primi due vettori ortogonali).

Passo 1 — primo vettore invariato: $u_1=v_1=(1,1,0)$ .

Passo 2 — togliere a $v_2$ la componente lungo $u_1$ :

$u_2=v_2-\dfrac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1=(1,0,1)-\dfrac{1}{2}(1,1,0)=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},1\right).$

Verifica ortogonalità: $u_1\cdot u_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+0=0$ . ✓ Gram-Schmidt costruisce vettori ortogonali sottraendo via via le proiezioni sui precedenti.

7. Normalizzazione (base ortonormale)

Esercizio. Normalizzare $u_1=(1,1,0)$ e $u_2=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},1\right)$ del punto 6.

Si divide ciascun vettore per la sua norma:

$\hat u_1=\dfrac{u_1}{\|u_1\|}=\dfrac{(1,1,0)}{\sqrt2}=\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2},0\right).$

\begin{aligned} \|u_2\| &=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1} =\sqrt{\dfrac{3}{2}} =\dfrac{\sqrt6}{2},\\ \hat u_2 &=\dfrac{1}{\sqrt6/2}\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},1\right)\\ &=\left(\dfrac{1}{\sqrt6},-\dfrac{1}{\sqrt6},\dfrac{2}{\sqrt6}\right). \end{aligned}

$\{\hat u_1,\hat u_2\}$ è una base ortonormale: vettori ortogonali e di norma unitaria. Le basi ortonormali semplificano proiezioni e cambi di coordinate.

8. Proiezione su un sottospazio

Esercizio. Proiettare $w=(1,2,3)$ sul sottospazio generato dai vettori ortonormali

q_1=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0),\qquad q_2=\dfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2).

Quando la base del sottospazio è ortonormale, la proiezione è la somma delle componenti:

\operatorname{proj}_W w=(w\cdot q_1)q_1+(w\cdot q_2)q_2.

Calcoliamo i coefficienti:

w\cdot q_1=\dfrac{1+2}{\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt2},

w\cdot q_2=\dfrac{1-2+6}{\sqrt6}=\dfrac{5}{\sqrt6}.

Quindi

\operatorname{proj}_W w =\dfrac{3}{\sqrt2}\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0) +\dfrac{5}{\sqrt6}\dfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2).

Semplificando:

\operatorname{proj}_W w =\dfrac{3}{2}(1,1,0)+\dfrac{5}{6}(1,-1,2) =\left(\dfrac{7}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\right).

La componente ortogonale è

w-\operatorname{proj}_W w =\left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\right),

ed è ortogonale sia a $q_1$ sia a $q_2$ .

9. Gram-Schmidt completo su tre vettori

Esercizio. Ortogonalizzare

v_1=(1,0,0),\qquad v_2=(1,1,0),\qquad v_3=(1,1,1).

Il primo vettore è

u_1=v_1=(1,0,0).

Per il secondo:

u_2=v_2-\dfrac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1 =(1,1,0)-1(1,0,0)=(0,1,0).

Per il terzo bisogna togliere le proiezioni su entrambi i vettori già costruiti:

u_3=v_3-\dfrac{v_3\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1-\dfrac{v_3\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}u_2.

Poiché $v_3\cdot u_1=1$ e $v_3\cdot u_2=1$ :

u_3=(1,1,1)-(1,0,0)-(0,1,0)=(0,0,1).

La base ortogonale ottenuta è la base canonica. In esempi semplici Gram-Schmidt può sembrare ovvio, ma il passaggio chiave resta sottrarre tutte le proiezioni precedenti.

10. Minimi quadrati come proiezione

Esercizio. Trovare la retta $y=ax$ che meglio approssima, nel senso dei minimi quadrati, i dati $(1,2)$ , $(2,3)$ , $(3,5)$ .

Si cerca $a$ minimizzando

S(a)=(2-a)^2+(3-2a)^2+(5-3a)^2.

In forma vettoriale, si proietta

y=(2,3,5)

sul sottospazio generato da

x=(1,2,3).

Il coefficiente della proiezione è

a=\dfrac{x\cdot y}{x\cdot x} =\dfrac{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot5}{1^2+2^2+3^2} =\dfrac{23}{14}=1{,}64.

La retta migliore vincolata a passare per l’origine è

\hat y=\dfrac{23}{14}x.

I minimi quadrati sono geometricamente una proiezione ortogonale: il residuo $y-\hat y$ è ortogonale al vettore dei regressori.

Errori comuni

Confondere prodotto scalare e norma. Il prodotto scalare è tra due vettori (uno scalare); la norma è la radice del prodotto di un vettore con se stesso.
Sbagliare il denominatore nella proiezione. È $v\cdot v=\|v\|^2$ , non $\|v\|$ : dimenticare il quadrato falsa la proiezione.
Normalizzare prima di ortogonalizzare. In Gram-Schmidt si ortogonalizza prima e si normalizza alla fine; invertire complica i calcoli.
Dimenticare la componente già rimossa. Ogni nuovo vettore di Gram-Schmidt va depurato dalle proiezioni su tutti i precedenti, non solo sull’ultimo.
Usare la formula semplice di proiezione con basi non ortonormali. La somma $(w\cdot q_i)q_i$ vale direttamente solo se i $q_i$ sono ortonormali.
Pensare ai minimi quadrati come formula isolata. Sono una proiezione: il residuo deve essere ortogonale allo spazio dei predittori.