Una trasformazione lineare (o applicazione lineare) L: V \to W è una funzione che soddisfa la proprietà di linearità:
- L(\vec{u} + \vec{v}) = L(\vec{u}) + L(\vec{v})
- L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})
Ogni trasformazione lineare tra spazi di dimensione finita può essere rappresentata univocamente da una matrice.
Proprietà Fondamentali
- Nucleo (Kernel): L’insieme dei vettori che vengono mappati nel vettore nullo. Indica quanto “perde” la trasformazione.
- Immagine: L’insieme dei valori assunti dalla trasformazione.
- Teorema della Dimensione: \dim(V) = \dim(\text{Ker } L) + \dim(\text{Im } L).
Significato Ingegneristico
- Sistemi di Controllo: Un sistema lineare tempo-invariante (LTI) agisce come una trasformazione lineare tra lo spazio dei segnali di ingresso e quello di uscita.
- Computer Graphics: Tutte le operazioni di rotazione, scalatura e traslazione (tramite coordinate omogenee) sono trasformazioni lineari espresse tramite matrici.
- Meccanica dei Continui: La trasformazione che descrive la deformazione di un corpo elastico (tensore della deformazione) è localmente una trasformazione lineare.
- Analisi Strutturale: La matrice di rigidezza trasforma i carichi applicati (vettore) negli spostamenti dei nodi (vettore).