Trasformazione Lineare

Una trasformazione lineare (o applicazione lineare) $L: V \to W$ è una funzione che soddisfa la proprietà di linearità:

1. $L(\vec{u} + \vec{v}) = L(\vec{u}) + L(\vec{v})$
2. $L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})$

Ogni trasformazione lineare tra spazi di dimensione finita può essere rappresentata univocamente da una matrice.

Proprietà Fondamentali

• Nucleo (Kernel): L’insieme dei vettori che vengono mappati nel vettore nullo. Indica quanto “perde” la trasformazione.
• Immagine: L’insieme dei valori assunti dalla trasformazione.
• Teorema della Dimensione: $\dim(V) = \dim(\text{Ker } L) + \dim(\text{Im } L)$.

Significato Ingegneristico

• Sistemi di Controllo: Un sistema lineare tempo-invariante (LTI) agisce come una trasformazione lineare tra lo spazio dei segnali di ingresso e quello di uscita.
• Computer Graphics: Tutte le operazioni di rotazione, scalatura e traslazione (tramite coordinate omogenee) sono trasformazioni lineari espresse tramite matrici.
• Meccanica dei Continui: La trasformazione che descrive la deformazione di un corpo elastico (tensore della deformazione) è localmente una trasformazione lineare.
• Analisi Strutturale: La matrice di rigidezza trasforma i carichi applicati (vettore) negli spostamenti dei nodi (vettore).