Spazio Duale

Lo spazio duale di uno spazio vettoriale $V$ è lo spazio di tutte le applicazioni lineari da $V$ nel campo scalare $K$. È uno strumento fondamentale per la formulazione delle forme bilineari, dei tensori covarianti e della dualità in analisi funzionale.

Vedi anche: Applicazione Lineare, Spazio Vettoriale.

Forme Lineari

Una forma lineare (o funzionale lineare) su $V$ è un’applicazione lineare $\varphi: V \to K$.

Esempi:

• Su $\mathbb{R}^n$: ogni $\varphi(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x} = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n$ è una forma lineare.
• Su $C([a,b])$: la valutazione $\varphi(f) = f(x_0)$ e l’integrale $\varphi(f) = \int_a^b f(x)\,dx$ sono forme lineari.

Spazio Duale $V^*$

L’insieme di tutte le forme lineari su $V$, con le operazioni naturali di somma e prodotto per scalare, è esso stesso uno spazio vettoriale chiamato spazio duale $V^* = \mathcal{L}(V, K)$.

Se $\dim V = n$ (finita), allora $\dim V^* = n$: lo spazio duale ha la stessa dimensione di $V$.

Base Duale

Data una base $\mathcal{B} = \{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ di $V$, la base duale $\mathcal{B}^* = \{e^1, \ldots, e^n\}$ di $V^*$ è definita da:

$e^i(\vec{e}_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}$

dove $\delta^i_j$ è il simbolo di Kronecker. Vedi: Simbolo di Kronecker.

Ogni forma lineare $\varphi \in V^*$ si scrive quindi come $\varphi = \sum_i \varphi(\vec{e}_i)\, e^i$.

Applicazione Duale (Trasposta)

Data un’applicazione lineare $f: V \to W$, l’applicazione duale $f^*: W^* \to V^*$ è definita da:

$f^*(\psi) = \psi \circ f \quad \forall\, \psi \in W^*$

La matrice di $f^*$ rispetto alle basi duali è la trasposta della matrice di $f$. Questo spiega il significato geometrico della trasposizione matriciale.

Biduale e Isomorfismo Canonico

Il biduale $V^{**} = (V^*)^*$ è lo spazio duale del duale. Esiste un isomorfismo canonico (naturale, indipendente dalla scelta della base):

$\iota: V \xrightarrow{\;\sim\;} V^{**}, \quad \iota(\vec{v})(\varphi) = \varphi(\vec{v})$

Per spazi di dimensione finita, $V$ e $V^{**}$ sono canonicamente isomorfi: ogni vettore può essere interpretato come funzionale sui funzionali.

Applicazioni ingegneristiche

• Meccanica classica: le forze generalizzate sono elementi dello spazio duale dello spazio delle velocità generalizzate (covettori); il lavoro virtuale è la dualità $\langle F, \delta q \rangle$.
• Algebra tensoriale: le componenti covarianti di un tensore vivono nel duale; l’innalzamento e l’abbassamento degli indici con il tensore metrico è un isomorfismo $V \cong V^*$. Vedi: Tensore.
• Analisi funzionale: in spazi di Hilbert, il teorema di Riesz-Fréchet identifica $H^*$ con $H$; questo giustifica la notazione bra-ket della meccanica quantistica.