Lo spazio duale di uno spazio vettoriale V è lo spazio di tutte le applicazioni lineari da V nel campo scalare K. È uno strumento fondamentale per la formulazione delle forme bilineari, dei tensori covarianti e della dualità in analisi funzionale.
Vedi anche: Applicazione Lineare, Spazio Vettoriale.
Forme Lineari
Una forma lineare (o funzionale lineare) su V è un’applicazione lineare \varphi: V \to K.
Esempi:
- Su \mathbb{R}^n: ogni \varphi(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x} = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n è una forma lineare.
- Su C([a,b]): la valutazione \varphi(f) = f(x_0) e l’integrale \varphi(f) = \int_a^b f(x)\,dx sono forme lineari.
Spazio Duale V^*
L’insieme di tutte le forme lineari su V, con le operazioni naturali di somma e prodotto per scalare, è esso stesso uno spazio vettoriale chiamato spazio duale V^* = \mathcal{L}(V, K).
Se \dim V = n (finita), allora \dim V^* = n: lo spazio duale ha la stessa dimensione di V.
Base Duale
Data una base \mathcal{B} = \{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\} di V, la base duale \mathcal{B}^* = \{e^1, \ldots, e^n\} di V^* è definita da:
e^i(\vec{e}_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}
dove \delta^i_j è il simbolo di Kronecker. Vedi: Simbolo di Kronecker.
Ogni forma lineare \varphi \in V^* si scrive quindi come \varphi = \sum_i \varphi(\vec{e}_i)\, e^i.
Applicazione Duale (Trasposta)
Data un’applicazione lineare f: V \to W, l’applicazione duale f^*: W^* \to V^* è definita da:
f^*(\psi) = \psi \circ f \quad \forall\, \psi \in W^*
La matrice di f^* rispetto alle basi duali è la trasposta della matrice di f. Questo spiega il significato geometrico della trasposizione matriciale.
Biduale e Isomorfismo Canonico
Il biduale V^{**} = (V^*)^* è lo spazio duale del duale. Esiste un isomorfismo canonico (naturale, indipendente dalla scelta della base):
\iota: V \xrightarrow{\;\sim\;} V^{**}, \quad \iota(\vec{v})(\varphi) = \varphi(\vec{v})
Per spazi di dimensione finita, V e V^{**} sono canonicamente isomorfi: ogni vettore può essere interpretato come funzionale sui funzionali.
Applicazioni ingegneristiche
- Meccanica classica: le forze generalizzate sono elementi dello spazio duale dello spazio delle velocità generalizzate (covettori); il lavoro virtuale è la dualità \langle F, \delta q \rangle.
- Algebra tensoriale: le componenti covarianti di un tensore vivono nel duale; l’innalzamento e l’abbassamento degli indici con il tensore metrico è un isomorfismo V \cong V^*. Vedi: Tensore.
- Analisi funzionale: in spazi di Hilbert, il teorema di Riesz-Fréchet identifica H^* con H; questo giustifica la notazione bra-ket della meccanica quantistica.