Metodo di Jacobi (Iterativo)

Il metodo di Jacobi è un metodo iterativo per la soluzione di sistemi lineari $A\vec{x} = \vec{b}$. Aggiorna simultaneamente tutte le componenti della soluzione usando i valori dell’iterazione precedente. È il più semplice tra i metodi iterativi stazionari.

Nota: questa voce tratta il metodo iterativo di Jacobi per sistemi lineari, distinto dalla matrice jacobiana di una funzione vettoriale. Vedi: Jacobiano.

Vedi anche: Metodo di Gauss-Seidel, Numero di Condizionamento, Metodi Numerici per Sistemi Lineari.

Schema di Iterazione

Data la decomposizione $A = D + L + U$ con $D$ diagonale, $L$ triangolare inferiore stretta, $U$ triangolare superiore stretta, il metodo di Jacobi è:

$\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(\vec{b} - (L + U)\vec{x}^{(k)}\bigr)$

Componente per componente:

$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)}\right)$

La formula richiede $a_{ii} \neq 0$ per ogni $i$ (matrice con diagonale non nulla).

Convergenza

Il metodo converge se e solo se il raggio spettrale della matrice di iterazione è minore di 1:

$\rho(B_J) < 1, \quad B_J = -D^{-1}(L + U)$

Condizione sufficiente: la matrice $A$ è a dominanza diagonale stretta per righe:

$|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}| \quad \forall\, i$

Se $A$ è simmetrica e definita positiva, la convergenza non è garantita per Jacobi (al contrario di Gauss-Seidel).

Confronto con Gauss-Seidel

Proprietà	Jacobi	Gauss-Seidel
Aggiornamento	simultaneo	sequenziale
Parallelizzabilità	alta	bassa
Convergenza tipica	più lenta	circa il doppio più veloce
Memoria	due vettori	un vettore

Il metodo di Jacobi è intrinsecamente parallelizzabile (ogni componente si aggiorna indipendentemente) ed è spesso preferito in implementazioni su GPU. Vedi: Metodo di Gauss-Seidel.

Applicazioni ingegneristiche

• FEM su GPU: la natura parallela di Jacobi lo rende adatto a implementazioni massivamente parallele su architetture GPU per la soluzione di grandi sistemi sparsi.
• Elaborazione di immagini: la diffusione isotropa discreta (smoothing) è equivalente a un’iterazione di Jacobi sul laplaciano discreto della griglia dell’immagine.
• Ottimizzazione distribuita: l’algoritmo ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers) per problemi di ottimizzazione distribuita usa schemi analoghi a Jacobi nei sottoproblemi locali.