Un isomorfismo tra due spazi vettoriali è un’applicazione lineare biiettiva: preserva completamente la struttura algebrica, rendendo i due spazi indistinguibili dal punto di vista dell’algebra lineare.
Vedi anche: Applicazione Lineare.
Definizione
Un’applicazione lineare f: V \to W è un isomorfismo se è:
- iniettiva: \ker(f) = \{\vec{0}\}
- suriettiva: \operatorname{Im}(f) = W
Se esiste un isomorfismo f: V \to W, si dice che V e W sono isomorfi e si scrive V \cong W.
L’isomorfismo inverso f^{-1}: W \to V è anch’esso un’applicazione lineare.
Classificazione per Dimensione
Teorema fondamentale: due spazi vettoriali su uno stesso campo K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
In particolare: ogni spazio vettoriale n-dimensionale su K è isomorfo a K^n. La scelta di una base stabilisce esplicitamente questo isomorfismo (mappa coordinate).
Endomorfismi e Automorfismi
Un’applicazione lineare f: V \to V (dallo spazio in sé) si chiama endomorfismo. L’insieme degli endomorfismi di V forma un anello \operatorname{End}(V).
Se un endomorfismo è anche un isomorfismo, si chiama automorfismo. L’insieme degli automorfismi di V forma un gruppo rispetto alla composizione: il gruppo lineare generale GL(V), che per V = K^n coincide con GL(n, K) (matrici invertibili n \times n).
Spazi Isomorfi: Esempi
| Spazio V | Isomorfo a | Isomorfismo esplicito |
|---|---|---|
| \mathbb{R}^{m \times n} (matrici) | \mathbb{R}^{mn} | vettorizzazione per colonne |
| \mathcal{P}_n (polinomi \leq grado n) | \mathbb{R}^{n+1} | vettore dei coefficienti |
| V con base \mathcal{B} | K^n | mappa coordinate [\cdot]_{\mathcal{B}} |
Relazione con le Matrici
Un endomorfismo f: K^n \to K^n è un automorfismo se e solo se la sua matrice associata (rispetto a una qualsiasi base) è invertibile, cioè ha determinante non nullo. Vedi: Determinante, Cambio di Base.
Applicazioni ingegneristiche
- Analisi dimensionale: l’isomorfismo tra lo spazio delle grandezze fisiche e \mathbb{R}^n (con n dimensioni fondamentali del SI) è alla base del teorema di Buckingham-\Pi.
- Trasformata di Fourier discreta (DFT): è un isomorfismo tra lo spazio dei segnali nel dominio del tempo e quello nel dominio delle frequenze; la matrice di Fourier F_n è l’automorfismo esplicito.
- FEM: la mappa tra gradi di libertà nodali e coordinate generalizzate è un isomorfismo; la scelta della base (funzioni di forma) determina la struttura della matrice di rigidezza.