Isomorfismo

Un isomorfismo tra due spazi vettoriali è un’applicazione lineare biiettiva: preserva completamente la struttura algebrica, rendendo i due spazi indistinguibili dal punto di vista dell’algebra lineare.

Vedi anche: Applicazione Lineare.

Definizione

Un’applicazione lineare $f: V \to W$ è un isomorfismo se è:

• iniettiva: $\ker(f) = \{\vec{0}\}$
• suriettiva: $\operatorname{Im}(f) = W$

Se esiste un isomorfismo $f: V \to W$, si dice che $V$ e $W$ sono isomorfi e si scrive $V \cong W$.

L’isomorfismo inverso $f^{-1}: W \to V$ è anch’esso un’applicazione lineare.

Classificazione per Dimensione

Teorema fondamentale: due spazi vettoriali su uno stesso campo $K$ sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

In particolare: ogni spazio vettoriale $n$-dimensionale su $K$ è isomorfo a $K^n$. La scelta di una base stabilisce esplicitamente questo isomorfismo (mappa coordinate).

Endomorfismi e Automorfismi

Un’applicazione lineare $f: V \to V$ (dallo spazio in sé) si chiama endomorfismo. L’insieme degli endomorfismi di $V$ forma un anello $\operatorname{End}(V)$.

Se un endomorfismo è anche un isomorfismo, si chiama automorfismo. L’insieme degli automorfismi di $V$ forma un gruppo rispetto alla composizione: il gruppo lineare generale $GL(V)$, che per $V = K^n$ coincide con $GL(n, K)$ (matrici invertibili $n \times n$).

Spazi Isomorfi: Esempi

Spazio $V$	Isomorfo a	Isomorfismo esplicito
$\mathbb{R}^{m \times n}$ (matrici)	$\mathbb{R}^{mn}$	vettorizzazione per colonne
$\mathcal{P}_n$ (polinomi $\leq$ grado $n$)	$\mathbb{R}^{n+1}$	vettore dei coefficienti
$V$ con base $\mathcal{B}$	$K^n$	mappa coordinate $[\cdot]_{\mathcal{B}}$

Relazione con le Matrici

Un endomorfismo $f: K^n \to K^n$ è un automorfismo se e solo se la sua matrice associata (rispetto a una qualsiasi base) è invertibile, cioè ha determinante non nullo. Vedi: Determinante, Cambio di Base.

Applicazioni ingegneristiche

• Analisi dimensionale: l’isomorfismo tra lo spazio delle grandezze fisiche e $\mathbb{R}^n$ (con $n$ dimensioni fondamentali del SI) è alla base del teorema di Buckingham-$\Pi$.
• Trasformata di Fourier discreta (DFT): è un isomorfismo tra lo spazio dei segnali nel dominio del tempo e quello nel dominio delle frequenze; la matrice di Fourier $F_n$ è l’automorfismo esplicito.
• FEM: la mappa tra gradi di libertà nodali e coordinate generalizzate è un isomorfismo; la scelta della base (funzioni di forma) determina la struttura della matrice di rigidezza.