Cambiare base in uno spazio vettoriale equivale a scegliere un nuovo sistema di riferimento. Le coordinate dei vettori cambiano, ma gli oggetti geometrici e le proprietà intrinseche (autovalori, determinante, traccia) rimangono invarianti.
Vedi anche: Base e Dimensione, Applicazione Lineare.
Matrice di Passaggio
Date due basi \mathcal{B} = \{\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n\} e \mathcal{B}' = \{\vec{b}'_1, \ldots, \vec{b}'_n\} di V, la matrice di passaggio P da \mathcal{B} a \mathcal{B}' ha per colonne le coordinate dei vettori di \mathcal{B}' espressi nella base \mathcal{B}:
P = \bigl[ [\vec{b}'_1]_{\mathcal{B}} \mid [\vec{b}'_2]_{\mathcal{B}} \mid \cdots \mid [\vec{b}'_n]_{\mathcal{B}} \bigr]
P è sempre invertibile (è la matrice di un isomorfismo). Vedi: Isomorfismo.
Trasformazione delle Coordinate
Se [\vec{v}]_{\mathcal{B}} sono le coordinate di \vec{v} nella base \mathcal{B} e [\vec{v}]_{\mathcal{B}'} quelle nella base \mathcal{B}':
[\vec{v}]_{\mathcal{B}} = P \cdot [\vec{v}]_{\mathcal{B}'} \quad \Longleftrightarrow \quad [\vec{v}]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} \cdot [\vec{v}]_{\mathcal{B}}
I vettori si trasformano con P^{-1} (trasformazione controvariante).
Trasformazione della Matrice di un Endomorfismo
Se A = [f]_{\mathcal{B}} è la matrice di un endomorfismo f: V \to V nella base \mathcal{B}, la sua matrice nella nuova base \mathcal{B}' è:
A' = [f]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} A P
Matrici Simili
Due matrici A, A' \in M_n(K) sono simili se esiste una matrice invertibile P tale che A' = P^{-1}AP. La similarità è una relazione di equivalenza; due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo in basi diverse.
Invarianti per similarità (stessa per tutte le matrici simili):
- Determinante: \det(A') = \det(A)
- Traccia: \operatorname{tr}(A') = \operatorname{tr}(A)
- Rango: \operatorname{rk}(A') = \operatorname{rk}(A)
- Polinomio caratteristico: p_{A'}(\lambda) = p_A(\lambda)
- Autovalori (con molteplicità)
La diagonalizzazione è proprio la ricerca di una base in cui la matrice simile è diagonale. Vedi: Polinomio Caratteristico.
Base Ortonormale e Matrici Ortogonali
Se sia \mathcal{B} che \mathcal{B}' sono basi ortonormali (rispetto a un prodotto scalare), la matrice di passaggio P è ortogonale: P^{-1} = P^T. In questo caso il cambio di base è un’isometria. Vedi: Gram-Schmidt.
Applicazioni ingegneristiche
- Analisi modale: la diagonalizzazione della matrice di rigidezza nel sistema di coordinate dei modi propri disaccoppia le equazioni del moto.
- Robotica: il cambio di base tra sistemi di riferimento solidali a link diversi è il cuore della cinematica diretta (matrici di Denavit-Hartenberg).
- Grafica 3D: il passaggio tra sistema mondo, sistema camera e sistema schermo è una sequenza di cambi di base con matrici 4\times4 in coordinate omogenee.