Autovalore

Dato un operatore lineare rappresentato da una matrice quadrata $A$, un autovalore è uno scalare $\lambda$ tale per cui esista almeno un vettore non nullo $\vec{v}$ (detto autovettore) che soddisfa l’equazione agli autovalori: $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$

Questo significa che l’effetto dell’applicazione della matrice $A$ sull’autovettore $\vec{v}$ equivale a una semplice dilatazione, contrazione o inversione del vettore stesso, con fattore di scala pari all’autovalore $\lambda$.

Calcolo

Gli autovalori si ottengono cercando i valori di $\lambda$ che annullano il determinante della matrice caratteristica, ovvero risolvendo l’equazione caratteristica: $\det(A - \lambda I) = 0$ Le radici di questo polinomio (che prende il nome di polinomio caratteristico) sono gli autovalori del sistema.

Proprietà algebriche

Per una matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ con autovalori $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ (contati con molteplicità):

$\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i \qquad \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$

La molteplicità algebrica $m_a(\lambda)$ di un autovalore è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico. La molteplicità geometrica $m_g(\lambda) = \dim\ker(A - \lambda I)$ è il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a $\lambda$. Vale sempre $m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)$: se l’uguaglianza vale per tutti gli autovalori, la matrice è diagonalizzabile.

Per matrici simmetriche reali ($A = A^T$): tutti gli autovalori sono reali e la matrice è sempre diagonalizzabile con autovettori ortogonali. Questo è il caso delle matrici di rigidezza e di massa in meccanica strutturale.

Significato Ingegneristico

• Analisi Modale: In ingegneria strutturale e meccanica, gli autovalori di un sistema vibrante rappresentano il quadrato delle frequenze naturali del sistema.
• Controlli Automatici: Il segno della parte reale degli autovalori della matrice di stato determina se un sistema dinamico lineare è stabile, instabile o marginalmente stabile.
• Meccanica del Continuo: Gli autovalori del tensore degli sforzi di Cauchy sono le tensioni principali, necessarie per i criteri di resistenza dei materiali.

Vedi anche: Autovettore, Polinomio Caratteristico, Applicazione Lineare.