Dato un operatore lineare rappresentato da una matrice quadrata A, un autovalore è uno scalare \lambda tale per cui esista almeno un vettore non nullo \vec{v} (detto autovettore) che soddisfa l’equazione agli autovalori: A\vec{v} = \lambda\vec{v}
Questo significa che l’effetto dell’applicazione della matrice A sull’autovettore \vec{v} equivale a una semplice dilatazione, contrazione o inversione del vettore stesso, con fattore di scala pari all’autovalore \lambda.
Calcolo
Gli autovalori si ottengono cercando i valori di \lambda che annullano il determinante della matrice caratteristica, ovvero risolvendo l’equazione caratteristica: \det(A - \lambda I) = 0 Le radici di questo polinomio (che prende il nome di polinomio caratteristico) sono gli autovalori del sistema.
Proprietà algebriche
Per una matrice A \in M_n(\mathbb{R}) con autovalori \lambda_1, \ldots, \lambda_n (contati con molteplicità):
\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i \qquad \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
La molteplicità algebrica m_a(\lambda) di un autovalore è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico. La molteplicità geometrica m_g(\lambda) = \dim\ker(A - \lambda I) è il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a \lambda. Vale sempre m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda): se l’uguaglianza vale per tutti gli autovalori, la matrice è diagonalizzabile.
Per matrici simmetriche reali (A = A^T): tutti gli autovalori sono reali e la matrice è sempre diagonalizzabile con autovettori ortogonali. Questo è il caso delle matrici di rigidezza e di massa in meccanica strutturale.
Significato Ingegneristico
- Analisi Modale: In ingegneria strutturale e meccanica, gli autovalori di un sistema vibrante rappresentano il quadrato delle frequenze naturali del sistema.
- Controlli Automatici: Il segno della parte reale degli autovalori della matrice di stato determina se un sistema dinamico lineare è stabile, instabile o marginalmente stabile.
- Meccanica del Continuo: Gli autovalori del tensore degli sforzi di Cauchy sono le tensioni principali, necessarie per i criteri di resistenza dei materiali.
Vedi anche: Autovettore, Polinomio Caratteristico, Applicazione Lineare.