Decomposizione Polare

La decomposizione polare scrive ogni matrice invertibile come prodotto di una parte «rotazionale» (ortogonale o unitaria) e di una parte «di scala e deformazione» (simmetrica definita positiva). È l’analogo matriciale della forma polare $z = r e^{i\theta}$ dei numeri complessi.

Vedi anche: Teorema Spettrale, Decomposizione SVD.

Enunciato

Teorema: per ogni matrice invertibile $A \in M_n(\mathbb{R})$ esistono e sono unici:

• $Q$ matrice ortogonale ($Q^T Q = I$, $\det Q = \pm 1$)
• $S$ matrice simmetrica definita positiva ($S = S^T$, $x^T S x > 0$ per $x \neq 0$)

tali che:

$A = QS \quad \text{(decomposizione polare sinistra)}$

Equivalentemente esiste una decomposizione destra $A = S'Q$ con $S'$ simmetrica definita positiva e $Q$ la stessa matrice ortogonale.

Nel caso complesso: $Q$ unitaria ($Q^* Q = I$), $S$ hermitiana definita positiva.

Costruzione Esplicita

Dalla decomposizione SVD $A = U\Sigma V^T$ (vedi: Decomposizione SVD):

$S = V \Sigma V^T \quad \text{(radice quadrata di } A^T A\text{)}, \quad Q = UV^T$

In particolare $S = (A^T A)^{1/2}$ è la radice quadrata positiva di $A^T A$, e $Q$ è la parte «di rotazione» che rimane dopo aver estratto la deformazione simmetrica.

Interpretazione Geometrica

Ogni trasformazione lineare invertibile $A$ si decompone in:

1. Una deformazione pura $S$: stiramento lungo direzioni ortogonali (gli autovettori di $S$) con fattori di scala (gli autovalori di $S$, che coincidono con i valori singolari di $A$).
2. Una rotazione/riflessione $Q$.

L’ordine importa: $A = QS$ significa «prima deforma, poi ruota»; $A = S'Q$ significa «prima ruota, poi deforma».

Relazione con la SVD

I valori singolari di $A$ sono gli autovalori di $S = (A^T A)^{1/2}$, cioè le radici quadrate degli autovalori di $A^T A$. La decomposizione polare è quindi un corollario della SVD.

Applicazioni ingegneristiche

• Meccanica dei continui: il tensore gradiente di deformazione $F$ si decompone come $F = RU$ (decomposizione polare), dove $R$ è il tensore di rotazione e $U$ è il tensore di deformazione di allungamento destro. È il fondamento della teoria delle deformazioni finite.
• Robotica: la decomposizione polare estrae la rotazione «più vicina» a una matrice generica, utile per correggere matrici di rotazione contaminate da errori numerici.
• Grafica computazionale: la decomposizione polare è usata nelle simulazioni di corpi deformabili (shape matching) per separare deformazione rigida da deformazione elastica.
• Ottimizzazione su varietà: il problema di trovare la matrice ortogonale più vicina a $A$ (problema di Procuste) ha soluzione $Q = UV^T$, ottenuta dalla decomposizione polare.