La decomposizione polare scrive ogni matrice invertibile come prodotto di una parte «rotazionale» (ortogonale o unitaria) e di una parte «di scala e deformazione» (simmetrica definita positiva). È l’analogo matriciale della forma polare z = r e^{i\theta} dei numeri complessi.
Vedi anche: Teorema Spettrale, Decomposizione SVD.
Enunciato
Teorema: per ogni matrice invertibile A \in M_n(\mathbb{R}) esistono e sono unici:
- Q matrice ortogonale (Q^T Q = I, \det Q = \pm 1)
- S matrice simmetrica definita positiva (S = S^T, x^T S x > 0 per x \neq 0)
tali che:
A = QS \quad \text{(decomposizione polare sinistra)}
Equivalentemente esiste una decomposizione destra A = S'Q con S' simmetrica definita positiva e Q la stessa matrice ortogonale.
Nel caso complesso: Q unitaria (Q^* Q = I), S hermitiana definita positiva.
Costruzione Esplicita
Dalla decomposizione SVD A = U\Sigma V^T (vedi: Decomposizione SVD):
S = V \Sigma V^T \quad \text{(radice quadrata di } A^T A\text{)}, \quad Q = UV^T
In particolare S = (A^T A)^{1/2} è la radice quadrata positiva di A^T A, e Q è la parte «di rotazione» che rimane dopo aver estratto la deformazione simmetrica.
Interpretazione Geometrica
Ogni trasformazione lineare invertibile A si decompone in:
- Una deformazione pura S: stiramento lungo direzioni ortogonali (gli autovettori di S) con fattori di scala (gli autovalori di S, che coincidono con i valori singolari di A).
- Una rotazione/riflessione Q.
L’ordine importa: A = QS significa «prima deforma, poi ruota»; A = S'Q significa «prima ruota, poi deforma».
Relazione con la SVD
I valori singolari di A sono gli autovalori di S = (A^T A)^{1/2}, cioè le radici quadrate degli autovalori di A^T A. La decomposizione polare è quindi un corollario della SVD.
Applicazioni ingegneristiche
- Meccanica dei continui: il tensore gradiente di deformazione F si decompone come F = RU (decomposizione polare), dove R è il tensore di rotazione e U è il tensore di deformazione di allungamento destro. È il fondamento della teoria delle deformazioni finite.
- Robotica: la decomposizione polare estrae la rotazione «più vicina» a una matrice generica, utile per correggere matrici di rotazione contaminate da errori numerici.
- Grafica computazionale: la decomposizione polare è usata nelle simulazioni di corpi deformabili (shape matching) per separare deformazione rigida da deformazione elastica.
- Ottimizzazione su varietà: il problema di trovare la matrice ortogonale più vicina a A (problema di Procuste) ha soluzione Q = UV^T, ottenuta dalla decomposizione polare.