Legge di Inerzia di Sylvester

La legge di inerzia di Sylvester afferma che la segnatura di una forma quadratica reale è un invariante della forma, indipendente dalla base scelta per ridurla a forma diagonale. È il risultato classificatorio centrale per le forme quadratiche.

Vedi anche: Forme Quadratiche e Forme Bilineari, Forma Bilineare, Cambio di Base.

Riduzione a Forma Canonica

Data una forma quadratica reale $Q(\vec{v}) = \vec{v}^T A \vec{v}$ con $A$ simmetrica, esiste sempre un cambio di base (congruenza) che la porta alla forma diagonale:

$Q = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2$

con $p + q \leq n = \dim V$. I termini mancanti corrispondono a direzioni su cui $Q$ è nulla (rango $r = p + q < n$).

Segnatura

La segnatura della forma quadratica è la coppia $(p, q)$ dove:

• $p$ = numero di quadrati con segno positivo (indice di positività)
• $q$ = numero di quadrati con segno negativo (indice di negatività)
• $r = p + q$ = rango della forma

Legge di inerzia di Sylvester: la segnatura $(p, q)$ è un invariante della forma quadratica, cioè non dipende dalla particolare base scelta per la diagonalizzazione.

Classificazione delle Forme Quadratiche Reali

Condizione	Tipo
$p = n$, $q = 0$	Definita positiva: $Q(\vec{v}) > 0$ per $\vec{v} \neq 0$
$p = n$, $q = 0$ ammette zeri	Semidefinita positiva: $Q(\vec{v}) \geq 0$
$q = n$, $p = 0$	Definita negativa
$p > 0$, $q > 0$	Indefinita

Criterio di Sylvester per Forme Definite Positive

Una matrice simmetrica $A$ è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di testa (leading principal minors) sono positivi:

$\Delta_1 = a_{11} > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \ldots, \quad \Delta_n = \det A > 0$

Questa condizione è computazionalmente efficiente e non richiede di calcolare tutti gli autovalori. Vedi: Determinante.

Relazione con gli Autovalori

Per una matrice simmetrica $A$:

• $p$ = numero di autovalori positivi (con molteplicità)
• $q$ = numero di autovalori negativi
• $n - p - q$ = numero di autovalori nulli (nullità)

$A$ definita positiva $\Leftrightarrow$ tutti gli autovalori $> 0$ $\Leftrightarrow$ criterio di Sylvester. Vedi: Teorema Spettrale.

Applicazioni ingegneristiche

• Stabilità dei sistemi dinamici: un punto di equilibrio è stabile (minimo di energia) se la matrice hessiana dell’energia potenziale è definita positiva; il criterio di Sylvester lo verifica senza calcolare autovalori. Vedi: Hessiano.
• Meccanica strutturale: la matrice di rigidezza $K$ di una struttura ben vincolata è definita positiva; la sua segnatura determina il numero di modi rigidi (autovalori nulli).
• Fattorizzazione di Cholesky: una matrice simmetrica ammette la fattorizzazione $A = LL^T$ (con $L$ triangolare inferiore a diagonale positiva) se e solo se è definita positiva. Vedi: Fattorizzazione di Cholesky.
• Classificazione di coniche e quadriche: la segnatura della forma quadratica associata determina il tipo di conica (ellisse, iperbole, parabola) e di quadrica.