La legge di inerzia di Sylvester afferma che la segnatura di una forma quadratica reale è un invariante della forma, indipendente dalla base scelta per ridurla a forma diagonale. È il risultato classificatorio centrale per le forme quadratiche.
Vedi anche: Forme Quadratiche e Forme Bilineari, Forma Bilineare, Cambio di Base.
Riduzione a Forma Canonica
Data una forma quadratica reale Q(\vec{v}) = \vec{v}^T A \vec{v} con A simmetrica, esiste sempre un cambio di base (congruenza) che la porta alla forma diagonale:
Q = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2
con p + q \leq n = \dim V. I termini mancanti corrispondono a direzioni su cui Q è nulla (rango r = p + q < n).
Segnatura
La segnatura della forma quadratica è la coppia (p, q) dove:
- p = numero di quadrati con segno positivo (indice di positività)
- q = numero di quadrati con segno negativo (indice di negatività)
- r = p + q = rango della forma
Legge di inerzia di Sylvester: la segnatura (p, q) è un invariante della forma quadratica, cioè non dipende dalla particolare base scelta per la diagonalizzazione.
Classificazione delle Forme Quadratiche Reali
| Condizione | Tipo |
|---|---|
| p = n, q = 0 | Definita positiva: Q(\vec{v}) > 0 per \vec{v} \neq 0 |
| p = n, q = 0 ammette zeri | Semidefinita positiva: Q(\vec{v}) \geq 0 |
| q = n, p = 0 | Definita negativa |
| p > 0, q > 0 | Indefinita |
Criterio di Sylvester per Forme Definite Positive
Una matrice simmetrica A è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di testa (leading principal minors) sono positivi:
\Delta_1 = a_{11} > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \ldots, \quad \Delta_n = \det A > 0
Questa condizione è computazionalmente efficiente e non richiede di calcolare tutti gli autovalori. Vedi: Determinante.
Relazione con gli Autovalori
Per una matrice simmetrica A:
- p = numero di autovalori positivi (con molteplicità)
- q = numero di autovalori negativi
- n - p - q = numero di autovalori nulli (nullità)
A definita positiva \Leftrightarrow tutti gli autovalori > 0 \Leftrightarrow criterio di Sylvester. Vedi: Teorema Spettrale.
Applicazioni ingegneristiche
- Stabilità dei sistemi dinamici: un punto di equilibrio è stabile (minimo di energia) se la matrice hessiana dell’energia potenziale è definita positiva; il criterio di Sylvester lo verifica senza calcolare autovalori. Vedi: Hessiano.
- Meccanica strutturale: la matrice di rigidezza K di una struttura ben vincolata è definita positiva; la sua segnatura determina il numero di modi rigidi (autovalori nulli).
- Fattorizzazione di Cholesky: una matrice simmetrica ammette la fattorizzazione A = LL^T (con L triangolare inferiore a diagonale positiva) se e solo se è definita positiva. Vedi: Fattorizzazione di Cholesky.
- Classificazione di coniche e quadriche: la segnatura della forma quadratica associata determina il tipo di conica (ellisse, iperbole, parabola) e di quadrica.