Una forma bilineare su uno spazio vettoriale V su un campo K è un’applicazione matematica B: V \times V \to K che associa a ogni coppia di vettori uno scalare, operando in modo lineare rispetto a ciascuno dei due argomenti presi singolarmente.
Ovvero, per ogni vettore fissato, l’applicazione rispetto all’altro vettore è una trasformazione lineare:
- B(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}, \vec{w}) = \alpha B(\vec{u}, \vec{w}) + \beta B(\vec{v}, \vec{w})
- B(\vec{u}, \alpha\vec{v} + \beta\vec{w}) = \alpha B(\vec{u}, \vec{v}) + \beta B(\vec{u}, \vec{w})
Proprietà di Simmetria
- Una forma bilineare si dice simmetrica se l’ordine degli argomenti non conta: B(\vec{u}, \vec{v}) = B(\vec{v}, \vec{u}) per ogni \vec{u}, \vec{v} \in V.
- Si dice antisimmetrica (o alternante) se lo scambio degli argomenti cambia il segno: B(\vec{u}, \vec{v}) = -B(\vec{v}, \vec{u}).
Il prodotto scalare standard (o prodotto interno) nello spazio euclideo è l’esempio più noto e importante di forma bilineare simmetrica (e definita positiva).
Matrice Associata
Fissata una base \{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\} di V, la forma bilineare può essere completamente descritta da una matrice M le cui entrate sono i prodotti tra i vettori della base: M_{ij} = B(\vec{e}_i, \vec{e}_j). In questo modo, il calcolo della forma si riduce a un prodotto tra matrici: B(\vec{u}, \vec{v}) = \mathbf{x}^T M \mathbf{y} (dove \mathbf{x} e \mathbf{y} sono i vettori colonna delle coordinate di \vec{u} e \vec{v}).
Vedi anche: Forma Quadratica, Prodotto Scalare.