Una forma quadratica su uno spazio vettoriale V su un campo K è un’applicazione Q: V \to K generata da una forma bilineare simmetrica B tramite la relazione: Q(\vec{v}) = B(\vec{v}, \vec{v})
Ogni forma quadratica determina univocamente la forma bilineare simmetrica che la genera tramite la formula di polarizzazione: B(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{1}{2}\bigl[Q(\vec{u} + \vec{v}) - Q(\vec{u}) - Q(\vec{v})\bigr]
Matrice Associata
Fissata una base, la forma quadratica può essere espressa tramite una matrice simmetrica M. Per un vettore \vec{v} rappresentato dal vettore colonna delle sue coordinate \mathbf{x}, si ha: Q(\vec{v}) = \mathbf{x}^T M \mathbf{x}
Ogni forma quadratica reale può essere ridotta a forma canonica diagonale con un opportuno cambiamento di base: Q(\vec{v}) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \cdots + \lambda_n x_n^2
Classificazione (Definitezza)
A seconda dei valori che può assumere, una forma quadratica (e la relativa matrice associata) è classificata come:
- Definita positiva: Q(\vec{v}) > 0 per ogni \vec{v} \neq \vec{0}.
- Definita negativa: Q(\vec{v}) < 0 per ogni \vec{v} \neq \vec{0}.
- Semidefinita (positiva o negativa): il segno è costante, ma Q(\vec{v}) = 0 per qualche \vec{v} \neq \vec{0}.
- Indefinita: Q assume valori sia positivi sia negativi.
Applicazioni all’ingegneria
- Meccanica delle strutture: l’energia potenziale elastica U = \frac{1}{2}\mathbf{x}^T\mathbf{K}\mathbf{x} e l’energia cinetica T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{x}}^T\mathbf{M}\dot{\mathbf{x}} sono forme quadratiche basate sulle matrici di rigidezza e massa.
- Ottimizzazione: lo studio della definitezza della matrice Hessiana (forma quadratica delle derivate seconde) permette di classificare i punti critici di una funzione multivariata.
Vedi anche: Forma Bilineare.