Forma Quadratica

Una forma quadratica su uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è un’applicazione $Q: V \to K$ generata da una forma bilineare simmetrica $B$ tramite la relazione: $Q(\vec{v}) = B(\vec{v}, \vec{v})$

Ogni forma quadratica determina univocamente la forma bilineare simmetrica che la genera tramite la formula di polarizzazione: $B(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{1}{2}\bigl[Q(\vec{u} + \vec{v}) - Q(\vec{u}) - Q(\vec{v})\bigr]$

Matrice Associata

Fissata una base, la forma quadratica può essere espressa tramite una matrice simmetrica $M$. Per un vettore $\vec{v}$ rappresentato dal vettore colonna delle sue coordinate $\mathbf{x}$, si ha: $Q(\vec{v}) = \mathbf{x}^T M \mathbf{x}$

Ogni forma quadratica reale può essere ridotta a forma canonica diagonale con un opportuno cambiamento di base: $Q(\vec{v}) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \cdots + \lambda_n x_n^2$

Classificazione (Definitezza)

A seconda dei valori che può assumere, una forma quadratica (e la relativa matrice associata) è classificata come:

• Definita positiva: $Q(\vec{v}) > 0$ per ogni $\vec{v} \neq \vec{0}$.
• Definita negativa: $Q(\vec{v}) < 0$ per ogni $\vec{v} \neq \vec{0}$.
• Semidefinita (positiva o negativa): il segno è costante, ma $Q(\vec{v}) = 0$ per qualche $\vec{v} \neq \vec{0}$.
• Indefinita: $Q$ assume valori sia positivi sia negativi.

Applicazioni all’ingegneria

• Meccanica delle strutture: l’energia potenziale elastica $U = \frac{1}{2}\mathbf{x}^T\mathbf{K}\mathbf{x}$ e l’energia cinetica $T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{x}}^T\mathbf{M}\dot{\mathbf{x}}$ sono forme quadratiche basate sulle matrici di rigidezza e massa.
• Ottimizzazione: lo studio della definitezza della matrice Hessiana (forma quadratica delle derivate seconde) permette di classificare i punti critici di una funzione multivariata.

Vedi anche: Forma Bilineare.