Prodotto Misto — ingegnerismo.it

Il prodotto misto di tre vettori $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ in $\mathbb{R}^3$ è uno scalare definito come: $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

Significato Geometrico

Il valore assoluto del prodotto misto rappresenta il volume del parallelepipedo avente i tre vettori come spigoli. $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$

Proprietà

Se il prodotto misto è nullo, i tre vettori sono complanari.
Il risultato può essere calcolato come il determinante della matrice $3 \times 3$ avente i tre vettori come righe o colonne.
È ciclico: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ .

Significato Ingegneristico

Meccanica del Corpo Rigido: Il lavoro di una forza rotante o il momento di una forza rispetto a un asse può essere espresso tramite prodotti misti.
Cinematica: Il calcolo della velocità di un punto in un sistema di riferimento rotante coinvolge il triplo prodotto vettoriale, che è strettamente legato alle proprietà del prodotto misto.
Geotecnica: Utilizzato per calcolare volumi di scavo o di riporto partendo dalle coordinate dei vertici dei blocchi di terreno.
Computer Graphics: Calcolo delle normali alle superfici e determinazione dell’orientamento dei poligoni per il rendering.