Un tensore è un oggetto matematico che generalizza scalari, vettori e matrici: si trasforma in modo specifico e coerente al cambio di sistema di riferimento. La legge di trasformazione è la sua definizione caratterizzante; le componenti cambiano, ma il tensore come entità geometrica rimane invariante.
Vedi anche: Convenzione di Einstein, Simbolo di Kronecker, Spazio Duale.
Ordine di un Tensore
L’ordine (o rango) di un tensore indica quanti indici sono necessari per descriverlo:
| Ordine | Esempio | Componenti |
|---|---|---|
| 0 | Scalare \phi | 1 = n^0 |
| 1 | Vettore v^i | n = n^1 |
| 2 | Matrice T^{ij} | n^2 |
| r | Tensore generico | n^r |
In \mathbb{R}^3 (n = 3): un tensore del secondo ordine ha 9 componenti.
Componenti Covarianti e Controvarianti
In uno spazio con base \{\vec{e}_i\} e base duale \{e^i\}:
- Componenti controvarianti v^i: si trasformano come le coordinate di un vettore (con la matrice inversa del cambio di base). Si scrivono con indice in alto.
- Componenti covarianti v_i: si trasformano come i gradienti (con la matrice del cambio di base). Si scrivono con indice in basso.
- Componenti miste T^i{}_j: un indice in alto, uno in basso.
Sotto un cambio di base con matrice J^i{}_j = \partial x'^i / \partial x^j:
v'^i = J^i{}_j v^j \quad \text{(controvariante)} v'_i = (J^{-1})^j{}_i v_j \quad \text{(covariante)}
Tensore Metrico
Il tensore metrico g_{ij} (o g^{ij} nella forma controvariante) è il tensore simmetrico del secondo ordine che definisce il prodotto scalare:
\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = g_{ij} u^i v^j
Permette di alzare e abbassare gli indici: v_i = g_{ij} v^j e v^i = g^{ij} v_j.
In coordinate cartesiane ortogonali: g_{ij} = \delta_{ij} (delta di Kronecker). Vedi: Simbolo di Kronecker.
Prodotto Tensoriale
Il prodotto tensoriale di due tensori T (ordine r) e S (ordine s) è un tensore di ordine r + s:
(T \otimes S)^{i_1 \cdots i_r j_1 \cdots j_s} = T^{i_1 \cdots i_r} S^{j_1 \cdots j_s}
Contrazione
La contrazione riduce l’ordine di 2 sommando su un indice covariante e uno controvariante:
T^i{}_i = \sum_i T^i{}_i
La traccia di una matrice è la contrazione del tensore del secondo ordine misto.
Applicazioni ingegneristiche
- Meccanica dei continui: tensore degli sforzi \sigma_{ij} (simmetrico, 6 componenti indipendenti in 3D), tensore delle deformazioni \varepsilon_{ij}, tensore di elasticità C_{ijkl} (ordine 4, al più 21 componenti indipendenti per simmetria). Vedi: Tensori: Applicazioni in Ingegneria.
- Relatività generale: il tensore di curvatura di Riemann R^i{}_{jkl} (ordine 4) descrive la curvatura dello spaziotempo; il tensore di Einstein G_{\mu\nu} appare nelle equazioni di campo.
- Elettromagnetismo: il tensore di Maxwell F^{\mu\nu} (antisimmetrico, ordine 2 in 4D) unifica campi elettrico e magnetico in un unico oggetto covariante.
- Resistività e permittività: in cristalli anisotropi, resistività e permittività sono tensori del secondo ordine: E_i = \rho_{ij} J^j.