Tensore

Un tensore è un oggetto matematico che generalizza scalari, vettori e matrici: si trasforma in modo specifico e coerente al cambio di sistema di riferimento. La legge di trasformazione è la sua definizione caratterizzante; le componenti cambiano, ma il tensore come entità geometrica rimane invariante.

Vedi anche: Convenzione di Einstein, Simbolo di Kronecker, Spazio Duale.

Ordine di un Tensore

L’ordine (o rango) di un tensore indica quanti indici sono necessari per descriverlo:

Ordine	Esempio	Componenti
0	Scalare $\phi$	1 = $n^0$
1	Vettore $v^i$	$n$ = $n^1$
2	Matrice $T^{ij}$	$n^2$
$r$	Tensore generico	$n^r$

In $\mathbb{R}^3$ ($n = 3$): un tensore del secondo ordine ha 9 componenti.

Componenti Covarianti e Controvarianti

In uno spazio con base $\{\vec{e}_i\}$ e base duale $\{e^i\}$:

• Componenti controvarianti $v^i$: si trasformano come le coordinate di un vettore (con la matrice inversa del cambio di base). Si scrivono con indice in alto.
• Componenti covarianti $v_i$: si trasformano come i gradienti (con la matrice del cambio di base). Si scrivono con indice in basso.
• Componenti miste $T^i{}_j$: un indice in alto, uno in basso.

Sotto un cambio di base con matrice $J^i{}_j = \partial x'^i / \partial x^j$:

$v'^i = J^i{}_j v^j \quad \text{(controvariante)}$ $v'_i = (J^{-1})^j{}_i v_j \quad \text{(covariante)}$

Tensore Metrico

Il tensore metrico $g_{ij}$ (o $g^{ij}$ nella forma controvariante) è il tensore simmetrico del secondo ordine che definisce il prodotto scalare:

$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = g_{ij} u^i v^j$

Permette di alzare e abbassare gli indici: $v_i = g_{ij} v^j$ e $v^i = g^{ij} v_j$.

In coordinate cartesiane ortogonali: $g_{ij} = \delta_{ij}$ (delta di Kronecker). Vedi: Simbolo di Kronecker.

Prodotto Tensoriale

Il prodotto tensoriale di due tensori $T$ (ordine $r$) e $S$ (ordine $s$) è un tensore di ordine $r + s$:

$(T \otimes S)^{i_1 \cdots i_r j_1 \cdots j_s} = T^{i_1 \cdots i_r} S^{j_1 \cdots j_s}$

Contrazione

La contrazione riduce l’ordine di 2 sommando su un indice covariante e uno controvariante:

$T^i{}_i = \sum_i T^i{}_i$

La traccia di una matrice è la contrazione del tensore del secondo ordine misto.

Applicazioni ingegneristiche

• Meccanica dei continui: tensore degli sforzi $\sigma_{ij}$ (simmetrico, 6 componenti indipendenti in 3D), tensore delle deformazioni $\varepsilon_{ij}$, tensore di elasticità $C_{ijkl}$ (ordine 4, al più 21 componenti indipendenti per simmetria). Vedi: Tensori: Applicazioni in Ingegneria.
• Relatività generale: il tensore di curvatura di Riemann $R^i{}_{jkl}$ (ordine 4) descrive la curvatura dello spaziotempo; il tensore di Einstein $G_{\mu\nu}$ appare nelle equazioni di campo.
• Elettromagnetismo: il tensore di Maxwell $F^{\mu\nu}$ (antisimmetrico, ordine 2 in 4D) unifica campi elettrico e magnetico in un unico oggetto covariante.
• Resistività e permittività: in cristalli anisotropi, resistività e permittività sono tensori del secondo ordine: $E_i = \rho_{ij} J^j$.