Il simbolo di Levi-Civita (o tensore alternante) in tre dimensioni, indicato con \varepsilon_{ijk}, è definito come:
- +1 se (i,j,k) è una permutazione pari di (1,2,3)
- -1 se (i,j,k) è una permutazione dispari di (1,2,3)
- 0 se due o più indici sono uguali
È un tensore totalmente antisimmetrico: lo scambio di due indici qualsiasi ne inverte il segno (es. \varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{jik}).
Espressioni Notevoli
Il tensore di Levi-Civita è fondamentale in notazione indiziale (convenzione di Einstein):
- Prodotto vettoriale: (\vec{u} \times \vec{v})^i = \varepsilon^{ijk} u_j v_k
- Determinante (matrice 3 \times 3): \det A = \varepsilon_{ijk} A^1{}_i A^2{}_j A^3{}_k
- Rotore: (\nabla \times \vec{F})^i = \varepsilon^{ijk} \partial_j F_k
Identità Epsilon-Delta
Il simbolo di Levi-Civita è legato al delta di Kronecker dall’identità fondamentale: \varepsilon_{ijk}\varepsilon^{ilm} = \delta^l_j \delta^m_k - \delta^m_j \delta^l_k Questa relazione permette di dimostrare agevolmente teoremi sul doppio prodotto vettoriale vettoriale (regola del BAC-CAB).
Applicazioni ingegneristiche
- Meccanica dei Continui: Utilizzato per scomporre il gradiente della velocità nelle sue parti simmetrica (deformazione) e antisimmetrica (vorticità).
- Fluidodinamica ed Elettromagnetismo: Indispensabile per scrivere rotori ed equazioni di bilancio tridimensionali (come le equazioni di Navier-Stokes o di Maxwell) in forma compatta tensoriale.
Vedi anche: Simbolo di Kronecker.