Lo spazio quoziente è una costruzione che permette di «collassare» un sottospazio a un singolo punto, ottenendo un nuovo spazio vettoriale le cui «direzioni» sono le classi di vettori che differiscono solo per elementi del sottospazio collassato.
Vedi anche: Spazio Vettoriale, Applicazione Lineare.
Classi Laterali
Sia W un sottospazio vettoriale di V. Per ogni \vec{v} \in V, la classe laterale (o coset) di \vec{v} rispetto a W è:
\vec{v} + W = \{ \vec{v} + \vec{w} \mid \vec{w} \in W \}
Due classi laterali \vec{v} + W e \vec{u} + W sono uguali se e solo se \vec{v} - \vec{u} \in W. Le classi laterali formano una partizione di V.
Definizione di V/W
L’insieme di tutte le classi laterali:
V/W = \{ \vec{v} + W \mid \vec{v} \in V \}
diventa uno spazio vettoriale con le operazioni:
(\vec{v} + W) + (\vec{u} + W) = (\vec{v} + \vec{u}) + W \alpha(\vec{v} + W) = (\alpha \vec{v}) + W
Queste operazioni sono ben definite (indipendenti dal rappresentante scelto).
Dimensione: Formula di Grassmann Quoziente
\dim(V/W) = \dim V - \dim W
In particolare, se \dim V = n e \dim W = k, allora V/W \cong K^{n-k}.
Proiezione Canonica e Teorema di Isomorfismo
La proiezione canonica \pi: V \to V/W definita da \pi(\vec{v}) = \vec{v} + W è un’applicazione lineare suriettiva con \ker(\pi) = W.
Primo teorema di isomorfismo: data un’applicazione lineare f: V \to U, esiste un unico isomorfismo \bar{f}: V/\ker(f) \to \operatorname{Im}(f) tale che f = \bar{f} \circ \pi.
V/\ker(f) \cong \operatorname{Im}(f)
Questo teorema lega la costruzione quoziente al teorema della dimensione (nullità più rango). Vedi: Rango.
Formula di Grassmann
Per due sottospazi U, W \subseteq V:
\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)
Lo spazio quoziente (U + W)/W \cong U/(U \cap W) fornisce una dimostrazione elegante di questa formula.
Applicazioni ingegneristiche
- Segnali e sistemi: il quoziente dello spazio dei segnali rispetto al sottospazio dei segnali nulli su un intervallo modella la risposta impulsiva di un filtro causale.
- Meccanica analitica: lo spazio delle configurazioni di un sistema vincolato è un quoziente dello spazio delle configurazioni libere rispetto al sottospazio dei vincoli (in prima approssimazione lineare).
- Algebra lineare numerica: la costruzione degli spazi di Krylov usa implicitamente strutture quoziente per proiettare il problema su sottospazi di dimensione ridotta. Vedi: Gradiente Coniugato.