Convenzione di Einstein — ingegnerismo.it

La convenzione di Einstein (o convenzione di sommatoria), introdotta da Albert Einstein nel 1916, stabilisce che quando un indice appare due volte nella stessa espressione — una volta in posizione alta (controvariante) e una volta in posizione bassa (covariante) — è implicita la somma su tutti i valori di quell’indice. Questo elimina la necessità di scrivere esplicitamente il simbolo di somma $\sum$ .

Vedi anche: Tensore, Simbolo di Kronecker.

Regola

Se un indice appare due volte nella stessa espressione (una volta in alto, una in basso), si somma su tutti i suoi valori:

$a^i b_i \equiv \sum_{i=1}^n a^i b_i$

L’indice ripetuto si chiama indice muto (o indice contratto): può essere rinominato senza cambiare il significato. Gli indici che appaiono una sola volta si chiamano indici liberi.

Esempi

Prodotto scalare: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u^i v_i = \sum_i u^i v_i$

Prodotto matrice-vettore: $(A\vec{x})^i = A^i{}_j x^j = \sum_j A^i{}_j x^j$

Prodotto tra matrici: $(AB)^i{}_k = A^i{}_j B^j{}_k = \sum_j A^i{}_j B^j{}_k$

Traccia: $\operatorname{tr}(A) = A^i{}_i = \sum_i A^i{}_i$

Tensore metrico e norma: $\|\vec{v}\|^2 = g_{ij} v^i v^j$

Regole da rispettare

Un indice può apparire al massimo due volte nella stessa espressione (una in alto, una in basso); tre o più occorrenze dello stesso indice indicano un errore.
Gli indici liberi devono apparire lo stesso numero di volte a entrambi i membri di un’equazione tensoriale.
L’indice muto può essere rinominato liberamente: $a^i b_i = a^j b_j$ .

Contrazione con il Tensore Metrico

Il tensore metrico $g_{ij}$ permette di convertire indici:

$v_i = g_{ij} v^j \quad \text{(abbassare un indice)}$ $v^i = g^{ij} v_j \quad \text{(alzare un indice)}$

In coordinate cartesiane con metrica euclidea $g_{ij} = \delta_{ij}$ , non c’è distinzione tra indici alti e bassi.

Applicazioni ingegneristiche

Meccanica dei continui: la legge di Hooke generalizzata si scrive $\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}$ (contrazione su $k, l$ ); senza la convenzione di Einstein richiederebbe quattro simboli di somma espliciti.
Relatività generale: le equazioni di Einstein $G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$ e le equazioni geodetiche $\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \dot{x}^\nu \dot{x}^\rho = 0$ sono scritte in notazione di Einstein.
Grafica computazionale / shader: alcune pipeline di calcolo GPU usano notazione tensoriale con somme implicite sugli indici nei prodotti di matrici e vettori omogenei.
Machine learning: la libreria NumPy/PyTorch einsum è l’implementazione informatica diretta della convenzione di Einstein per operazioni tensoriali arbitrarie.