Il teorema di Gershgorin fornisce una localizzazione semplice ed esplicita degli autovalori di una matrice quadrata nel piano complesso, senza calcolare il polinomio caratteristico. È uno strumento rapido per stimare lo spettro e verificare condizioni di convergenza.
Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Polinomio Caratteristico.
Cerchi di Gershgorin
Per una matrice A \in M_n(\mathbb{C}), il i-esimo cerchio di Gershgorin è:
D_i = \left\{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \leq R_i \right\}, \quad R_i = \sum_{j \neq i} |a_{ij}|
Il cerchio è centrato nell’elemento diagonale a_{ii} e ha raggio pari alla somma dei valori assoluti degli elementi fuori diagonale nella riga i.
Enunciato del Teorema
Teorema di Gershgorin: ogni autovalore di A appartiene all’unione dei cerchi di Gershgorin:
\sigma(A) \subseteq \bigcup_{i=1}^n D_i
Corollario (cerchi separati): se l’unione di k cerchi è disgiunta dall’unione dei restanti n-k cerchi, allora quella componente connessa contiene esattamente k autovalori (contati con molteplicità).
Applicazione alla Dominanza Diagonale
Se A è a dominanza diagonale stretta per righe (|a_{ii}| > R_i per ogni i), allora tutti i cerchi di Gershgorin escludono l’origine, e quindi 0 \notin \sigma(A): A è invertibile.
Se inoltre A è reale simmetrica e tutti i cerchi sono nella semipiano reale positivo (a_{ii} > R_i), allora A è definita positiva.
Versione per Colonne
Esiste una versione analoga con cerchi centrati sugli elementi diagonali ma con raggi dati dalle somme delle colonne. L’intersezione dei due insiemi (per righe e per colonne) dà in genere un’approssimazione migliore.
Raffinamento: Teorema di Brauer
Per ogni coppia (i, j) con i \neq j, ogni autovalore appartiene a uno degli ovali di Cassini:
|z - a_{ii}| \cdot |z - a_{jj}| \leq R_i R_j
Questi ovali sono contenuti nell’unione dei cerchi di Gershgorin, dunque danno una stima più stretta.
Applicazioni ingegneristiche
- Stabilità di sistemi dinamici: per verificare che tutti gli autovalori di A abbiano parte reale negativa (sistema stabile), il teorema di Gershgorin fornisce una condizione sufficiente rapida da verificare quando la diagonale è negativa e dominante.
- Convergenza di metodi iterativi: il raggio spettrale \rho(B) della matrice di iterazione (Jacobi, Gauss-Seidel) soddisfa \rho(B) \leq \max_i R_i / |a_{ii}|; se questo è < 1, il metodo converge.
- Calcolo numerico degli autovalori: prima di lanciare un algoritmo iterativo, il teorema di Gershgorin localizza le regioni dove cercare gli autovalori, utile per impostare gli shift nell’algoritmo QR con shift. Vedi: Fattorizzazione QR.