Teorema di Gershgorin

Il teorema di Gershgorin fornisce una localizzazione semplice ed esplicita degli autovalori di una matrice quadrata nel piano complesso, senza calcolare il polinomio caratteristico. È uno strumento rapido per stimare lo spettro e verificare condizioni di convergenza.

Vedi anche: Autovalori e Autovettori, Polinomio Caratteristico.

Cerchi di Gershgorin

Per una matrice $A \in M_n(\mathbb{C})$, il $i$-esimo cerchio di Gershgorin è:

$D_i = \left\{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \leq R_i \right\}, \quad R_i = \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$

Il cerchio è centrato nell’elemento diagonale $a_{ii}$ e ha raggio pari alla somma dei valori assoluti degli elementi fuori diagonale nella riga $i$.

Enunciato del Teorema

Teorema di Gershgorin: ogni autovalore di $A$ appartiene all’unione dei cerchi di Gershgorin:

$\sigma(A) \subseteq \bigcup_{i=1}^n D_i$

Corollario (cerchi separati): se l’unione di $k$ cerchi è disgiunta dall’unione dei restanti $n-k$ cerchi, allora quella componente connessa contiene esattamente $k$ autovalori (contati con molteplicità).

Applicazione alla Dominanza Diagonale

Se $A$ è a dominanza diagonale stretta per righe ($|a_{ii}| > R_i$ per ogni $i$), allora tutti i cerchi di Gershgorin escludono l’origine, e quindi $0 \notin \sigma(A)$: $A$ è invertibile.

Se inoltre $A$ è reale simmetrica e tutti i cerchi sono nella semipiano reale positivo ($a_{ii} > R_i$), allora $A$ è definita positiva.

Versione per Colonne

Esiste una versione analoga con cerchi centrati sugli elementi diagonali ma con raggi dati dalle somme delle colonne. L’intersezione dei due insiemi (per righe e per colonne) dà in genere un’approssimazione migliore.

Raffinamento: Teorema di Brauer

Per ogni coppia $(i, j)$ con $i \neq j$, ogni autovalore appartiene a uno degli ovali di Cassini:

$|z - a_{ii}| \cdot |z - a_{jj}| \leq R_i R_j$

Questi ovali sono contenuti nell’unione dei cerchi di Gershgorin, dunque danno una stima più stretta.

Applicazioni ingegneristiche

• Stabilità di sistemi dinamici: per verificare che tutti gli autovalori di $A$ abbiano parte reale negativa (sistema stabile), il teorema di Gershgorin fornisce una condizione sufficiente rapida da verificare quando la diagonale è negativa e dominante.
• Convergenza di metodi iterativi: il raggio spettrale $\rho(B)$ della matrice di iterazione (Jacobi, Gauss-Seidel) soddisfa $\rho(B) \leq \max_i R_i / |a_{ii}|$; se questo è $< 1$, il metodo converge.
• Calcolo numerico degli autovalori: prima di lanciare un algoritmo iterativo, il teorema di Gershgorin localizza le regioni dove cercare gli autovalori, utile per impostare gli shift nell’algoritmo QR con shift. Vedi: Fattorizzazione QR.