Forma Canonica di Jordan

La forma canonica di Jordan è la forma più semplice a cui può essere ridotta una matrice quadrata a coefficienti in $\mathbb{C}$ tramite una trasformazione di similarità. Generalizza la diagonalizzazione ai casi in cui le molteplicità algebrica e geometrica non coincidono.

Vedi anche: Polinomio Caratteristico, Cambio di Base, Teorema di Cayley-Hamilton.

Blocco di Jordan

Un blocco di Jordan di ordine $k$ relativo all’autovalore $\lambda$ è la matrice $k \times k$:

$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$

con $\lambda$ sulla diagonale principale e $1$ sulla sopradiagonale. Per $k = 1$ si riduce al blocco scalare $(\lambda)$.

Forma di Jordan

Teorema: ogni matrice $A \in M_n(\mathbb{C})$ è simile a una matrice a blocchi diagonali:

$J = \begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{k_r}(\lambda_r) \end{pmatrix}$

$J$ è la forma di Jordan di $A$, unica a meno dell’ordine dei blocchi. I blocchi non devono essere tutti distinti né relativi ad autovalori distinti.

Autovettori Generalizzati e Catene

Per ogni autovalore $\lambda_0$, la catena di Jordan di lunghezza $k$ è una sequenza $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k$ tale che:

$A\vec{v}_1 = \lambda_0 \vec{v}_1, \quad A\vec{v}_j = \lambda_0 \vec{v}_j + \vec{v}_{j-1} \quad (j \geq 2)$

$\vec{v}_1$ è un autovettore ordinario; $\vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$ sono autovettori generalizzati di rango $2, \ldots, k$.

Lo spazio degli autovettori generalizzati di $\lambda_0$ è $\ker(A - \lambda_0 I)^n$, detto spazio radice di $\lambda_0$.

Decomposizione Primaria

$\mathbb{C}^n = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}$

dove $V_{\lambda_i} = \ker(A - \lambda_i I)^{m_a(\lambda_i)}$ è lo spazio radice dell’autovalore $\lambda_i$ e la somma è diretta su tutti gli autovalori distinti. Ogni $V_{\lambda_i}$ è invariante per $A$.

Relazione con Molteplicità

• Il numero di blocchi di Jordan relativi a $\lambda_0$ è $m_g(\lambda_0)$ (molteplicità geometrica).
• La somma delle dimensioni dei blocchi di Jordan relativi a $\lambda_0$ è $m_a(\lambda_0)$ (molteplicità algebrica).
• $A$ è diagonalizzabile $\Leftrightarrow$ tutti i blocchi di Jordan hanno dimensione 1.

Applicazioni ingegneristiche

• Sistemi di controllo: la risposta di un sistema $\dot{x} = Ax$ con autovalori ripetuti contiene termini polinomiali $t^k e^{\lambda t}$, direttamente dalla struttura dei blocchi di Jordan.
• Calcolo di $e^{At}$: la forma di Jordan semplifica l’esponenziale di matrice; per un blocco $J_k(\lambda)$: $e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t}(I + Nt + N^2t^2/2! + \cdots)$ con $N$ la parte nilpotente. Vedi: Esponenziale di Matrice.
• Sistemi meccanici: autovalori ripetuti con blocchi di Jordan di ordine 2 generano risonanza (risposta lineare nel tempo), critica per la progettazione strutturale.