La forma canonica di Jordan è la forma più semplice a cui può essere ridotta una matrice quadrata a coefficienti in \mathbb{C} tramite una trasformazione di similarità. Generalizza la diagonalizzazione ai casi in cui le molteplicità algebrica e geometrica non coincidono.
Vedi anche: Polinomio Caratteristico, Cambio di Base, Teorema di Cayley-Hamilton.
Blocco di Jordan
Un blocco di Jordan di ordine k relativo all’autovalore \lambda è la matrice k \times k:
J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}
con \lambda sulla diagonale principale e 1 sulla sopradiagonale. Per k = 1 si riduce al blocco scalare (\lambda).
Forma di Jordan
Teorema: ogni matrice A \in M_n(\mathbb{C}) è simile a una matrice a blocchi diagonali:
J = \begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{k_r}(\lambda_r) \end{pmatrix}
J è la forma di Jordan di A, unica a meno dell’ordine dei blocchi. I blocchi non devono essere tutti distinti né relativi ad autovalori distinti.
Autovettori Generalizzati e Catene
Per ogni autovalore \lambda_0, la catena di Jordan di lunghezza k è una sequenza \vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k tale che:
A\vec{v}_1 = \lambda_0 \vec{v}_1, \quad A\vec{v}_j = \lambda_0 \vec{v}_j + \vec{v}_{j-1} \quad (j \geq 2)
\vec{v}_1 è un autovettore ordinario; \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k sono autovettori generalizzati di rango 2, \ldots, k.
Lo spazio degli autovettori generalizzati di \lambda_0 è \ker(A - \lambda_0 I)^n, detto spazio radice di \lambda_0.
Decomposizione Primaria
\mathbb{C}^n = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}
dove V_{\lambda_i} = \ker(A - \lambda_i I)^{m_a(\lambda_i)} è lo spazio radice dell’autovalore \lambda_i e la somma è diretta su tutti gli autovalori distinti. Ogni V_{\lambda_i} è invariante per A.
Relazione con Molteplicità
- Il numero di blocchi di Jordan relativi a \lambda_0 è m_g(\lambda_0) (molteplicità geometrica).
- La somma delle dimensioni dei blocchi di Jordan relativi a \lambda_0 è m_a(\lambda_0) (molteplicità algebrica).
- A è diagonalizzabile \Leftrightarrow tutti i blocchi di Jordan hanno dimensione 1.
Applicazioni ingegneristiche
- Sistemi di controllo: la risposta di un sistema \dot{x} = Ax con autovalori ripetuti contiene termini polinomiali t^k e^{\lambda t}, direttamente dalla struttura dei blocchi di Jordan.
- Calcolo di e^{At}: la forma di Jordan semplifica l’esponenziale di matrice; per un blocco J_k(\lambda): e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t}(I + Nt + N^2t^2/2! + \cdots) con N la parte nilpotente. Vedi: Esponenziale di Matrice.
- Sistemi meccanici: autovalori ripetuti con blocchi di Jordan di ordine 2 generano risonanza (risposta lineare nel tempo), critica per la progettazione strutturale.