Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli: esercizi svolti

Un sistema lineare può avere una sola soluzione, infinite o nessuna. Il teorema di Rouché-Capelli stabilisce quale caso si verifica confrontando il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa. Questa scheda allena la discussione e la risoluzione con Gauss e Cramer.

Rouché-Capelli: il sistema è compatibile se e solo se $\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)$ . Se questo rango vale $r$ e le incognite sono $n$ , le soluzioni dipendono da $n-r$ parametri.

1. Sistema con soluzione unica (Cramer)

Esercizio. Risolvere $\begin{cases}2x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$ con la regola di Cramer.

Passo 1 — determinante dei coefficienti: $\det A=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2-1=-3\ne0$ → soluzione unica.

Passo 2 — Cramer (sostituendo la colonna dei termini noti):

\begin{aligned} x&=\dfrac{\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}}{-3} =\dfrac{-5-1}{-3} =\dfrac{-6}{-3} =2,\\ y&=\dfrac{\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}}{-3} =\dfrac{2-5}{-3} =1. \end{aligned}

Soluzione $(x,y)=(2,1)$ . Verifica: $2\times2+1=5$ ✓, $2-1=1$ ✓. Cramer richiede $\det A\ne0$ .

2. Eliminazione di Gauss

Esercizio. Risolvere con Gauss $\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{cases}$ .

Passo 1 — eliminazione. $R_2\to R_2-2R_1$ , $R_3\to R_3-R_1$ :

$\begin{cases}x+y+z=6\\ -3y-z=-9\\ y-2z=-4\end{cases}$

Passo 2 — $R_3\to R_3+\dfrac{1}{3} R_2$ : $\;y-2z+\dfrac{1}{3}(-3y-z)$ dà $-\dfrac{7}{3} z=-7\Rightarrow z=3$ .

Passo 3 — sostituzione all’indietro: da $-3y-3=-9\Rightarrow y=2$ ; da $x+2+3=6\Rightarrow x=1$ .

Soluzione $(1,2,3)$ . Gauss riduce il sistema a triangolare, poi si risolve dal basso.

3. Sistema incompatibile

Esercizio. Discutere $\begin{cases}x+y=2\\ 2x+2y=5\end{cases}$ .

La seconda equazione è $2(x+y)=5$ , ma la prima dice $x+y=2$ , quindi $2\times2=4\ne5$ . In termini di rango:

$\text{rg}(A)=1,\qquad \text{rg}(A|b)=2.$

$\text{rg}(A)\ne\text{rg}(A|b)$ → sistema incompatibile, nessuna soluzione. Le rette sono parallele e distinte.

4. Sistema con infinite soluzioni

Esercizio. Discutere e risolvere $\begin{cases}x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=6\end{cases}$ .

Le due equazioni sono proporzionali: $\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1$ . Con $n=3$ incognite:

$\text{soluzioni}\ \infty^{\,n-r}=\infty^{3-1}=\infty^2.$

Sistema compatibile indeterminato. Posti $y=s$ , $z=t$ parametri: $x=3-s-t$ . Le soluzioni formano un piano in $\mathbb{R}^3$ .

5. Sistema omogeneo

Esercizio. Per quali valori il sistema omogeneo $\begin{cases}x+2y=0\\ 3x+ky=0\end{cases}$ ha soluzioni diverse da quella nulla?

Un sistema omogeneo è sempre compatibile (la soluzione nulla esiste). Ha soluzioni non banali se e solo se $\det A=0$ :

$\det\begin{pmatrix}1&2\\3&k\end{pmatrix}=k-6=0\ \Rightarrow\ k=6.$

Per $k=6$ ci sono infinite soluzioni (le due equazioni diventano proporzionali); per $k\ne6$ solo $(0,0)$ .

6. Discussione con parametro

Esercizio. Discutere al variare di $a$ il sistema $\begin{cases}x+y=1\\ x+ay=2\end{cases}$ .

Determinante: $\det A=a-1$ .

$a\ne1$ : $\det A\ne0$ → soluzione unica. Per Cramer $x=\dfrac{a-2}{a-1}$ , $y=\dfrac{1}{a-1}$ .
$a=1$ : il sistema diventa $\begin{cases}x+y=1\\ x+y=2\end{cases}$ , contraddittorio → $\text{rg}(A)=1\ne2=\text{rg}(A|b)$ → incompatibile.

La discussione con parametro combina determinante e Rouché-Capelli: il valore critico ( $a=1$ ) va analizzato a parte.

7. Sistema omogeneo con dimensione dello spazio soluzione

Esercizio. Discutere il sistema omogeneo

\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+2y+2z=0 \end{cases}

e descriverne lo spazio delle soluzioni.

La seconda equazione è il doppio della prima, quindi:

\operatorname{rg}(A)=1.

Con $n=3$ incognite, lo spazio soluzione ha dimensione:

n-r=3-1=2.

Ponendo $y=s$ , $z=t$ :

x=-s-t.

Quindi:

(x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1).

Una base dello spazio soluzione è:

\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}.

Nei sistemi omogenei, il numero di parametri liberi coincide con la dimensione del nucleo della matrice.

8. Compatibile indeterminato non omogeneo

Esercizio. Risolvere

\begin{cases} x+y+z=4\\ 2x+2y+2z=8\\ x-y=0 \end{cases}

La seconda equazione è ridondante. Restano:

x+y+z=4,\qquad x-y=0.

Dalla seconda:

x=y.

Ponendo $z=t$ , la prima dà:

2x+t=4\quad\Rightarrow\quad x=y=\dfrac{4-t}{2}=2-\dfrac{t}{2}.

Soluzioni:

(x,y,z)=\left(2-\dfrac{t}{2},\ 2-\dfrac{t}{2},\ t\right),\qquad t\in\mathbb R.

Il sistema è compatibile indeterminato con un parametro: geometricamente, intersezione di due piani indipendenti, cioè una retta.

9. Discussione completa con parametro critico

Esercizio. Discutere il sistema

\begin{cases} x+y=1\\ 2x+2y=a \end{cases}

al variare di $a$ .

La matrice dei coefficienti ha rango $1$ , perché la seconda riga è il doppio della prima:

\operatorname{rg}(A)=1.

La matrice completa ha rango $1$ solo se anche il termine noto della seconda equazione è il doppio del primo:

a=2.

Quindi:

se $a=2$ , il sistema è compatibile indeterminato: infinite soluzioni sulla retta $x+y=1$ ;
se $a\ne2$ , il sistema è incompatibile: due rette parallele distinte.

Questo è il caso in cui il determinante è sempre nullo: Rouché-Capelli è indispensabile.

Errori comuni

Applicare Cramer con $\det A=0$ . La regola di Cramer vale solo per soluzione unica ( $\det\ne0$ ); altrimenti serve Rouché-Capelli.
Confondere indeterminato e incompatibile. Indeterminato = infinite soluzioni ( $\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)<n$ ); incompatibile = nessuna ( $\text{rg}(A)\ne\text{rg}(A|b)$ ).
Dimenticare il caso del parametro critico. Nelle discussioni il valore che annulla il determinante va sempre trattato separatamente.
Credere che un omogeneo possa essere incompatibile. Un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluzione nulla: è sempre compatibile.
Non contare i parametri liberi. Se il rango è $r$ e le incognite sono $n$ , le soluzioni dipendono da $n-r$ parametri.
Eliminare equazioni senza controllare i termini noti. Righe proporzionali nei coefficienti devono esserlo anche nella matrice completa.