Processo di Ornstein-Uhlenbeck

Il processo di Ornstein-Uhlenbeck è un processo stocastico continuo, gaussiano e markoviano con richiamo verso una media di equilibrio. È il modello lineare più semplice per una grandezza che fluttua casualmente ma non vaga indefinitamente: quando si allontana dalla media, una forza di richiamo la spinge indietro.

La forma di Itô più usata è l’equazione differenziale stocastica:

dX_t=\theta(\mu-X_t)\,dt+\sigma\,dW_t,

dove $\theta>0$ è la velocità di ritorno verso la media, $\mu$ è il livello di equilibrio, $\sigma$ è l’intensità del rumore e $W_t$ è un processo di Wiener. La deriva $\theta(\mu-X_t)$ è positiva se $X_t<\mu$ e negativa se $X_t>\mu$ .

Lettura dei parametri

Parametro	Significato	Effetto
$\displaystyle \mu$	media di lungo periodo	livello attorno a cui il processo oscilla
$\displaystyle \theta$	velocità di richiamo	maggiore $\theta$ significa ritorno più rapido
$\displaystyle \sigma$	intensità del rumore	maggiore $\sigma$ significa fluttuazioni più ampie
$\displaystyle W_t$	rumore browniano integrato	sorgente aleatoria continua

Il tempo caratteristico del richiamo è dell’ordine di:

\tau_c=\dfrac{1}{\theta}.

Dopo tempi molto più grandi di $\tau_c$ , l’influenza della condizione iniziale è fortemente attenuata.

Soluzione esplicita

La soluzione esplicita, partendo da $X_0$ , è:

X_t=\mu+(X_0-\mu)e^{-\theta t} +\sigma\int_0^t e^{-\theta(t-s)}\,dW_s

Il primo termine è la media di equilibrio, il secondo è la memoria della condizione iniziale, il terzo è un integrale di Itô che accumula rumore passato con peso esponenzialmente decrescente. Il processo è quindi una media filtrata del rumore bianco: gli urti recenti pesano più di quelli lontani.

La media condizionata vale:

\mathbb E[X_t\mid X_0] = \mu+(X_0-\mu)e^{-\theta t}.

La varianza condizionata, se $X_0$ è fissato, è:

\operatorname{Var}(X_t\mid X_0) = \dfrac{\sigma^2}{2\theta} \left(1-e^{-2\theta t}\right).

Quindi la varianza non cresce indefinitamente come nel moto browniano, ma tende a un valore finito:

\operatorname{Var}(X_t)\longrightarrow \dfrac{\sigma^2}{2\theta} \qquad \text{per } t\to\infty.

Distribuzione stazionaria e autocorrelazione

Per $\theta>0$ , il processo ammette una distribuzione stazionaria gaussiana:

X_\infty\sim \mathcal N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{2\theta}\right).

In regime stazionario, la covarianza tra due istanti separati da un ritardo $\tau$ è:

\operatorname{Cov}(X_t,X_{t+\tau}) = \dfrac{\sigma^2}{2\theta}e^{-\theta|\tau|}.

L’autocorrelazione normalizzata è quindi:

\rho(\tau)=e^{-\theta|\tau|}.

Questa formula è il motivo per cui il processo OU è usato come modello di rumore colorato con memoria finita: la correlazione non è nulla istantaneamente, ma decade esponenzialmente.

Confronto con il moto browniano

Proprietà	Moto browniano	Ornstein-Uhlenbeck
media	può avere deriva lineare	tende a $\mu$
varianza	cresce come $t$	tende a $\dfrac{\sigma^2}{2\theta}$
memoria	incrementi indipendenti	valori correlati nel tempo
stazionarietà	non stazionario	stazionario se inizializzato all’equilibrio
traiettorie	continue e non derivabili	continue e non derivabili

Il processo OU resta guidato dal moto browniano, quindi le traiettorie sono ancora irregolari. La differenza essenziale è nella deriva: il termine di richiamo impedisce alla varianza di crescere senza limite.

Simulazione esatta

Su una griglia temporale con passo $\Delta t$ , conviene usare la transizione esatta invece di una discretizzazione grossolana di Eulero. Condizionatamente a $X_t=x$ :

X_{t+\Delta t} \sim \mathcal N\!\left( \mu+(x-\mu)e^{-\theta\Delta t}, \dfrac{\sigma^2}{2\theta} \left(1-e^{-2\theta\Delta t}\right) \right).

Questa formula preserva media e varianza corrette per qualunque passo positivo. Lo schema di Eulero-Maruyama,

X_{n+1}=X_n+\theta(\mu-X_n)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_n,

con $Z_n\sim\mathcal N(0,1)$ , è utile didatticamente ma può introdurre errori se $\Delta t$ è troppo grande rispetto a $1/\theta$ .

Applicazioni

Il processo di Ornstein-Uhlenbeck compare in fisica statistica, segnali rumorosi, controllo, filtraggio, finanza matematica, modelli di tassi con richiamo, sistemi dissipativi, vibrazioni casuali e rumori correlati. La velocità nell’equazione di Langevin libera è un esempio fisico classico: l’attrito richiama la velocità verso zero, mentre gli urti molecolari la mantengono fluttuante.

In teoria dei segnali, l’OU fornisce un modello elementare di rumore colorato: rispetto al rumore bianco, ha una scala temporale di memoria. In statistica dei processi, è un esempio fondamentale di processo gaussiano markoviano e stazionario.

Errori comuni

Il primo errore è trattarlo come un semplice moto browniano con media variabile. La differenza non è estetica: il browniano ha varianza crescente, mentre l’OU tende a una distribuzione di equilibrio.

Il secondo errore è usare $\theta\le0$ senza cambiare interpretazione. Con $\theta=0$ si perde il richiamo e resta una diffusione; con $\theta<0$ il termine deterministico allontana dalla media e il modello diventa instabile.

Il terzo errore è confondere stazionarietà del processo con valore iniziale qualunque. Se $X_0$ è fissato, le distribuzioni iniziali cambiano nel tempo; il processo è strettamente stazionario solo se $X_0$ è già distribuito come $\mathcal N(\mu,\sigma^2/(2\theta))$ .

Il quarto errore è simulare con passi troppo grandi e poi interpretare le statistiche come se fossero esatte. Per il processo OU la transizione gaussiana chiusa è spesso la scelta migliore.

Vedi anche: equazione differenziale stocastica, processo di Wiener, moto browniano, integrale di Itô, formula di Itô, stazionarietà, autocorrelazione, densità spettrale di potenza, equazione di Langevin, rumore bianco e formulario di processi stocastici e affidabilità.