Formula di Itô — ingegnerismo.it

La formula di Itô è la regola della catena per funzioni di processi stocastici guidati da moto browniano. Serve quando una variabile aleatoria evolve secondo una equazione differenziale stocastica e si vuole calcolare la dinamica di una sua trasformazione.

Se $X_t$ soddisfa:

dX_t=a(t,X_t)\,dt+b(t,X_t)\,dW_t

con $W_t$ processo di Wiener, allora per una funzione $f(t,x)$ sufficientemente regolare, in classe $C^{1,2}$ , vale:

df(t,X_t)= \left( f_t+a f_x+\dfrac{1}{2}b^2 f_{xx} \right)dt b f_x\,dW_t

dove le derivate di $f$ sono valutate in $(t,X_t)$ .

Perché compare il termine correttivo

Nel calcolo deterministico la regola della catena trascura i termini quadratici nei differenziali. Nel calcolo di Itô questo non è possibile, perché il moto browniano ha variazione quadratica non nulla:

(dW_t)^2=dt

Se:

dX_t=a\,dt+b\,dW_t

allora, al secondo ordine:

(dX_t)^2=b^2(dW_t)^2=b^2\,dt

Perciò il termine:

\dfrac{1}{2}f_{xx}(dX_t)^2

sopravvive e diventa:

\dfrac{1}{2}b^2f_{xx}\,dt

Questa è la correzione che distingue la formula di Itô dalla regola della catena ordinaria.

Tavola dei termini

Termine	Formula	Significato
Deriva del processo	$\displaystyle a(t,X_t)\,dt$	Componente deterministica media dell’evoluzione.
Diffusione	$\displaystyle b(t,X_t)\,dW_t$	Componente aleatoria guidata dal moto browniano.
Termine temporale	$\displaystyle f_t\,dt$	Variazione esplicita di $f$ rispetto al tempo.
Termine di trasporto	$\displaystyle a f_x\,dt$	Effetto della deriva di $X_t$ sulla funzione.
Correzione di Itô	$\displaystyle \dfrac{1}{2}b^2 f_{xx}\,dt$	Effetto della variazione quadratica.
Rumore trasformato	$\displaystyle b f_x\,dW_t$	Componente stocastica della funzione trasformata.

Esempio: quadrato del moto browniano

Prendiamo $X_t=W_t$ e $f(x)=x^2$ . In questo caso $a=0$ , $b=1$ , $f_x=2x$ e $f_{xx}=2$ . La formula di Itô dà:

d(W_t^2)=2W_t\,dW_t+dt

Integrando:

W_t^2=2\int_0^t W_s\,dW_s+t

Il termine $t$ non comparirebbe con la regola della catena classica. È la traccia diretta della variazione quadratica del moto browniano.

Errori comuni

Trattare $dW_t$ come un differenziale ordinario e applicare la regola della catena deterministica.
Dimenticare che le derivate $f_t$ , $f_x$ e $f_{xx}$ sono valutate in $(t,X_t)$ .
Confondere la formula di Itô con la convenzione di Stratonovich, che usa una regola di trasformazione diversa.
Usare la formula senza verificare la regolarità minima della funzione trasformata.

Vedi anche: integrale di Itô, variazione quadratica, equazione differenziale stocastica, processo di Wiener, processo di Ornstein-Uhlenbeck.