Integrale di Itô — ingegnerismo.it

L’integrale di Itô è un integrale stocastico costruito rispetto a un processo di Wiener. Serve a dare significato a espressioni del tipo:

\int_0^T H_t\,dW_t,

dove $H_t$ è un processo casuale adattato all’informazione disponibile fino al tempo $t$ .

La costruzione parte da somme su una partizione $0=t_0<t_1<\dots<t_n=T$ :

\sum_{k=0}^{n-1} H_{t_k}\left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\right).

L’integrando è valutato all’estremo sinistro degli intervalli. Questa scelta impone che $H_{t_k}$ usi solo l’informazione disponibile prima dell’incremento browniano successivo.

Causalità e adattamento

La valutazione all’estremo sinistro rende l’integrale di Itô adatto a modelli causali, filtraggio e dinamiche stocastiche. In un sistema reale non si può usare informazione futura per decidere il valore corrente dell’integrando. Questa è una differenza essenziale rispetto ad altre convenzioni di integrazione stocastica.

Se $H_t$ è sufficientemente regolare e adattato, l’integrale di Itô ha media nulla:

\mathbb E\left[\int_0^T H_t\,dW_t\right]=0,

e soddisfa l’isometria di Itô:

\mathbb E\left[\left(\int_0^T H_t\,dW_t\right)^2\right] = \mathbb E\left[\int_0^T H_t^2\,dt\right].

Questa proprietà collega la varianza dell’integrale stocastico all’energia quadratica dell’integrando.

Regola di calcolo

Il calcolo di Itô differisce dal calcolo ordinario perché il moto browniano ha variazione quadratica non nulla. Nel calcolo simbolico si usa la regola:

(dW_t)^2=dt, \qquad dW_t\,dt=0, \qquad (dt)^2=0.

Per questo, quando si applica una funzione a un processo stocastico, compare un termine correttivo. Se:

dX_t=a(X_t,t)\,dt+b(X_t,t)\,dW_t,

allora la formula di Itô introduce un contributo proporzionale a $b^2\,\partial_{xx}f$ .

Ruolo nelle equazioni differenziali stocastiche

Le equazioni differenziali stocastiche sono spesso scritte nella forma compatta:

dX_t=a(X_t,t)\,dt+b(X_t,t)\,dW_t.

In realtà questa notazione significa:

X_T=X_0+\int_0^T a(X_t,t)\,dt+\int_0^T b(X_t,t)\,dW_t.

Il secondo integrale è un integrale di Itô. Un errore comune è trattarlo come un integrale di Riemann-Stieltjes ordinario: le traiettorie browniane sono continue ma troppo irregolari per quella costruzione classica.

Vedi anche: Equazione differenziale stocastica, Formula di Itô, Martingala.