Una martingala è un processo stocastico adattato a una filtrazione tale che il valore atteso futuro, condizionato all’informazione disponibile oggi, è uguale al valore presente:
La filtrazione (\mathcal F_t) rappresenta l’informazione accumulata fino al tempo t. Dire che X_t è adattato significa che il suo valore al tempo t è noto usando solo l’informazione disponibile in quel momento. La condizione di martingala richiede anche integrabilità:
Intuitivamente è un modello di gioco equo: non c’è deriva prevedibile sfruttabile usando l’informazione corrente.
Esempi
Un esempio discreto è la passeggiata aleatoria simmetrica:
dove X_i valgono +1 o -1 con probabilità uguale e sono indipendenti. Condizionando alla storia fino a n:
Anche il moto browniano standard è una martingala rispetto alla sua filtrazione naturale. In finanza matematica, sotto una misura neutrale al rischio, i prezzi scontati degli asset sono modellati come martingale; in statistica, molte somme di errori a media condizionata nulla generano martingale.
Submartingale e supermartingale
Se il valore atteso futuro condizionato è maggiore o uguale al valore corrente, si parla di submartingala:
Se è minore o uguale, si parla di supermartingala:
Una submartingala ha deriva condizionata non negativa; una supermartingala ha deriva condizionata non positiva. Queste nozioni permettono di formalizzare processi con tendenza favorevole o sfavorevole senza richiedere incrementi indipendenti.
Teorema di arresto
Una delle applicazioni più importanti è il teorema di arresto opzionale. Sotto ipotesi tecniche appropriate, se T è un tempo di arresto, allora:
L’interpretazione è che scegliere quando fermarsi usando solo l’informazione disponibile non crea vantaggio atteso in un gioco equo. Le ipotesi sono essenziali: senza limitazioni su T, integrabilità o uniform integrability, il risultato può fallire.
Uso nei calcoli
In applicazione, riconoscere una martingala permette spesso di calcolare medie, probabilità di assorbimento e identità di conservazione senza risolvere tutta la distribuzione del processo. Si costruisce una funzione del processo che diventa martingala e poi la si valuta a un tempo di arresto scelto.
Questo approccio compare in:
- rovina del giocatore e probabilità di assorbimento;
- stime di tempi di hitting;
- dimostrazioni di convergenza;
- algoritmi randomizzati;
- calcolo stocastico e formula di Itô;
- processi di ramificazione e modelli di diffusione.
Errori comuni
Una martingala non è un processo costante. Può oscillare molto: ciò che resta costante è il valore atteso condizionato, non la traiettoria. Inoltre incrementi a media zero non bastano sempre: la media deve essere nulla condizionatamente all’informazione passata.
Un altro errore è applicare il teorema di arresto senza verificare le condizioni. Strategie di raddoppio in giochi equi sembrano creare profitto, ma violano ipotesi realistiche come capitale finito, tempi di arresto limitati o integrabilità.
Vedi anche: Tempo di arresto, Moto browniano.